[論文レビュー] Basis of Representation of Universal Algebra

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己準同型構造を通じて普遍代数を表現するための新しい枠組みを導入し、基底および生成集合を定義することで、代数および幾何における対称性の概念を一般化する。幾何的対象は基底多様体への群作用から生じ、基底変換のもとでも不変量が保たれることを示し、表現論と微分幾何学および不変量論を統合する。

ABSTRACT

We say that there is a representation of the universal algebra B in the universal algebra A if the set of endomorphisms of the universal algebra A has the structure of universal algebra B. Therefore, the role of representation of the universal algebra is similar to the role of symmetry in geometry and physics. Morphism of the representation is the mapping that conserves the structure of the representation. Exploring of morphisms of the representation leads to the concepts of generating set and basis of representation. The set of automorphisms of the representation of the universal algebra forms the group. Twin representations of this group in basis manifold of the representation are called active and passive representations. Passive representation in basis manifold is underlying of concept of geometric object and the theory of invariants of the representation of the universal algebra.

研究の動機と目的

• 普遍代数の表現を自己準同型構造を用いて別の代数へ形式化すること。
• 代数的閉包を保つ最小生成構造としての生成集合および基底を定義すること。
• 自己準同型群が基底多様体上での能動的および受動的表現を定義する役割を確立すること。
• 幾何的対象を群作用の軌道として定義し、座標に依存しない代表元を用いて不変量を定義すること。
• 部分表現の閉包系を通じて、表現論を微分幾何学および不変量論と統合すること。

提案手法

• 代数 A の自己準同型集合を用いて、B の演算が A の自己準同型によって誘導されるように、別の代数 B の表現を定義する。
• 自己準同型の作用に関して閉じた集合および部分表現を定義し、部分代数が表現のもとで保存されることを保証する。
• 部分集合 X を含み、f に関して安定する最小の部分表現を生成する閉包作用素 J(f, X) を導入する。
• 基底多様体を表現の基底の集合として構成し、能動的および受動的群表現がそれらに作用する。
• 幾何的対象を基底多様体上の群作用の軌道として定義し、基底変更に対して不変な代表元を備える。
• 不変性の原理を適用して、幾何的対象の代表元が基底の選択に依存しないことを示し、自己準同型による座標変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍代数における表現の概念を、ホモモールフィズムではなく自己準同型構造を用いてどのように形式化できるか？
• RQ2 表現の最小生成集合（基底）を定義する条件は何か？ また、代数的閉包とはどのように関係するか？
• RQ3 基底多様体上での自己準同型群の能動的および受動的表現は、幾何的対象および不変量とどのように関係するか？
• RQ4 閉包作用素 J(f, X) は部分表現を構成し、表現のもとでの安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 群作用および基底変換を用いて、座標系に依存しない方法で幾何的対象をどのように内在的に定義できるか？

主な発見

• 与えられた表現の部分表現の集合は、閉包作用素 J(f, X) によって誘導される包含関係に関して完全なラティスをなす。
• 表現の基底は、表現の演算のもとで、ある元が他の元の組み合わせとして表せない最小生成集合として定義される。
• 表現の自己準同型群は、基底多様体上で二重の表現（能動的：要素に作用、受動的：座標に作用）を介して作用する。
• 幾何的対象は、基底多様体における自己準同型群の軌道として定義され、基底変更に対して不変な代表元を備える。
• 幾何的対象の代表元は、受動的変換のもとでの不変性原理により、基底の選択に依存しないことが証明されている。
• 与えられた型 H の幾何的対象の集合は、元の表現によって誘導される演算に関して閉じた新しい普遍代数 Ω₃ をなす。