[論文レビュー] Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras

Luc Menichi|ArXiv.org|Nov 17, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、モジュラー対が自己同型的である $(\chi,1)$ を備えたホップ代数の循環コホモロジーが、次数 $-2$ の階数付きリーブラケットをなすことを確立し、そのホッフコホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー（BV）代数であることを示している。本稿では『乗法を備えた循環オペラッド』——そのコホモロジーがBV代数であり、循環コホモロジーが次数 $-2$ の階数付きリーブラケットである——という概念を導入する。主たる貢献は、コンネスのコバウンダリー写像 $B$ を通じて、乗法を備えた循環オペラッドとBV代数、および階数付きリーブラケットを結ぶ一般枠組みを提供することであり、ホップ代数コホモロジーと対称代数ホッフコホモロジーにおける既知の結果を統一的に扱う。

ABSTRACT

We show that the Connes-Moscovici cyclic cohomology of a Hopf algebra equipped with a character has a Lie bracket of degree -2. More generally, we show that a "cyclic operad with multiplication" is a cocyclic module whose cohomology is a Batalin-Vilkovisky algebra and whose cyclic cohomology is a graded Lie algebra of degree -2. This explain why the Hochschild cohomology algebra of a symmetric algebra is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究の動機と目的

• 乗法を備えた循環オペラッドとバタリン＝ヴィルコフスキー代数、および階数付きリーブラケットを結ぶ一般枠組みを確立すること。
• ホップ代数にモジュラー対が自己同型的である $(\chi,1)$ を備える場合、コンネス＝モスコビッチの循環コホモロジーが次数 $-2$ の階数付きリーブラケットであることを証明すること。
• 乗法を備えた循環オペラッドの構造を通じて、対称代数のホッフコホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー代数であることを示すこと。
• オペラッドおよびホモロジー代数の道具を用いて、ホッフコホモロジーと循環コホモロジーにおけるBV構造に関する既知の結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 『乗法を備えた循環オペラッド』——乗法がゲルステンハーバー代数構造を誘導するコサイクルモジュール——という概念を導入すること。
• このようなオペラッドに対して正規化コチェイン複体 $\overline{\mathcal{C}}^{*}(O)$ を定義し、その微分 $d$、コバウンダリー $B$、カップ積 $\cup$、および合成積 $\overline{\circ}$ を分析すること。
• 任意の $f \in \overline{\mathcal{C}}^{m}(O), g \in \overline{\mathcal{C}}^{n}(O)$ に対して、$B(f \cup g) = Z(f,g) + (-1)^{mn}Z(g,f)$ を満たす次数 $-1$ の双線形写像 $Z$ の存在を証明すること。
• 微分 $d$、コバウンダリー $B$、写像 $Z$、カップ積および合成積を含むホモトピー関係を満たす次数 $-2$ の双線形写像 $H$ を確立すること。
• 混合複体のコンネスの長完全系列を用いて、接続写像 $\partial$ および写像 $I$ を通じて、循環コホモロジー上にリーブラケットを定義すること。
• ホップ代数 $\mathcal{H}$ にモジュラー対が自己同型的である $(\chi,1)$ を備える場合、そのコバーバー構成 $\Omega\mathcal{H}$ が乗法を備えた循環オペラッドであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数のコホモロジーにバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造がどのように系として得られるか、その循環コホモロジー構造から体系的に導出できるか。
• RQ2 オペラッドにどのような代数的構造が備わっていると、そのコホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー代数であり、その循環コホモロジーが次数 $-2$ の階数付きリーブラケットであるか。
• RQ3 なぜ対称代数のホッフコホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を備えているのか、そしてこれはコンネス＝モスコビッチの循環コホモロジーとどのように関係しているのか。
• RQ4 コサイクルモジュールにカップ・コサイクル構造が備わっている場合、その関連コチェイン複体のオペラッド的構造とはどのように関係するか。

主な発見

• モジュラー対が自己同型的である $(\chi,1)$ を備えたホップ代数 $\mathcal{H}$ の循環コホモロジー $HC^{*}_{(\chi,1)}(\mathcal{H})$ は、次数 $-2$ の階数付きリーブラケットである。
• ホップ代数 $\mathcal{H}$ にモジュラー対が自己同型的である $(\chi,1)$ を備える場合、コトリ・代数 $\text{Cotor}^{*}_{\mathcal{H}}(\Bbbk,\Bbbk)$ はバタリン＝ヴィルコフスキー代数である。
• 乗法を備えた循環オペラッドの正規化コチェイン複体は、コンネスのコバウンダリー写像 $B$ を通じてバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を備える。
• 乗法を備えた循環オペラッドの循環コホモロジーは、コンネスの長完全系列および接続写像 $\partial$ を通じて、次数 $-2$ の階数付きリーブラケット構造を引き継ぐ。
• 対称代数の自己準同型オペラッドは、乗法を備えた循環オペラッドである。これは、そのホッフコホモロジーがバタリン＝ヴィルコフスキー代数である理由を説明する。
• 本結果は、トライドラーおよびマククリュア＝スミスらの結果を含め、ホッフコホモロジーと循環コホモロジーにおけるBV構造に関する既知の結果を、共通のオペラッド的枠組みを提供することで、一般化・統一する。