[論文レビュー] Batalin-Vilkovisky formalism in locally covariant field theory

Kasia Rejzner|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、局所的に共変な場の理論におけるバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）形式主義の完全共変的かつ概念的に洗練された定式化を提示する。無限次元微分幾何学と圏論を用いて、古典的および量子的側面を統合する。経路積分に依存しない摂動的代数的量子場理論（pAQFT）フレームワークを確立し、正規化された時序積の結合性を証明するとともに、マスター・ウォード恒等式を用いて正規化された量子マスター方程式を定義する。

ABSTRACT

The present work contains a complete formulation of the Batalin-Vilkovisky (BV) formalism in the framework of locally covariant field theory. In the first part of the thesis the classical theory is investigated with a particular focus on the infinite dimensional character of the underlying structures. It is shown that the use of infinite dimensional differential geometry allows for a conceptually clear and elegant formulation. The construction of the BV complex is performed in a fully covariant way and we also generalize the BV framework to a more abstract level, using functors and natural transformations. In this setting we construct the BV complex for classical gravity. This allows us to give a homological interpretation to the notion of diffeomorphism invariant physical quantities in general relativity. The second part of the thesis concerns the quantum theory. We provide a framework for the BV quantization that doesn't rely on the path integral formalism, but is completely formulated within perturbative algebraic quantum field theory. To make such a formulation possible we first prove that the renormalized time-ordered product can be understood as a binary operation on a suitable domain. Using this result we prove the associativity of this product and provide a consistent framework for the renormalized BV structures. In particular the renormalized quantum master equation and the renormalized quantum BV operator are defined. To give a precise meaning to theses objects we make a use of the master Ward identity, which is an important structure in causal perturbation theory.

研究の動機と目的

• 古典的および量子的場の理論におけるバタリン＝ヴィルコビッチ形式主義の完全共変的かつ概念的に洗練された定式化の開発。
• 微分同相変換不変理論（一般相対性理論など）への応用を想定し、関手と自然変換を用いたBVフレームワークの一般化。
• 経路積分形式主義に依存しない摂動的代数的量子場理論（pAQFT）フレームワークを用いたBV量子化の構築。
• 適切な定義域上で正規化された時序積の結合性を証明し、正規化されたBV構造の一貫性を保証する。
• 代数的断片的極限において、マスター・ウォード恒等式を用いて正規化された量子マスター方程式および量子BV作用素を定義する。

提案手法

• 古典的場の理論におけるジャケットバンドルおよび重み付き多様体上の無限次元微分幾何学を用いてBV複体を形式化する。
• 全共変性を保証するため、グローバルに双曲的時空の圏上の関手的構成としてBV形式主義を表現する。
• 一般相対性理論における微分同相変換不変物理量のホモロジー的解釈を、コシュール＝テート解体を用いて導入する。
• 微局所的汎関数上の二項演算として正規化された時序積を定義し、マスター・ウォード恒等式を用いてその結合性を証明する。
• 摂動的代数的量子場理論フレームワーク内で、正規化された量子BV作用素および量子マスター方程式を構成する。
• 代数的断片的極限を用いて、正規化された量子マスター方程式に明確な意味を与え、因果的摂動理論と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に共変な場の理論における完全共変的なバタリン＝ヴィルコビッチ形式主義の定式化はどのように可能か？
• RQ2 関手や自然変換といった圏論的構造を用いて、一般相対性理論のような古典的重力理論にBV形式主義を一般化できるか？
• RQ3 経路積分形式主義に依存せずに、BV量子化を一貫的に定式化できるか？
• RQ4 マスター・ウォード恒等式は、pAQFTにおける正規化された量子マスター方程式の定義において果たす役割は何か？
• RQ5 正規化された時序積の結合性を厳密に確立することで、BV構造の一貫性を保証するにはどうすればよいか？

主な発見

• 無限次元微分幾何学を用いて、完全共変的にBV複体が構成され、古典理論の概念的に明快で洗練された定式化が得られた。
• 自然変換を用いた関手的枠組みとしてのBV形式主義の一般化により、古典的重力や微分同相変換不変理論への応用が可能となった。
• コシュール＝テート解体を用いて、一般相対性理論における微分同相変換不変物理量のホモロジー的解釈が確立された。
• 正規化された時序積の結合性が厳密に証明され、量子論における一貫性のある正規化されたBV構造の基礎が築かれた。
• 摂動的代数的量子場理論の枠組み内で、マスター・ウォード恒等式を用いて正規化された量子マスター方程式および量子BV作用素が定義された。
• 代数的断片的極限を用いることで、経路積分に依存しないBV量子化の定式化が提供され、因果的摂動理論および代数的断片的極限と整合性を保った。