[論文レビュー] Baxter's inequality for finite predictor coefficients of multivariate long-memory stationary processes

Akihiko Inoue, Yukio Kasahara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、長記憶 Stationary プロセスにおける有限予測子係数の多変量拡張を、Fourier係数を用いた位相関数のスペクトル領域表現と強化された交互射影法を用いて確立する。q次元 FARIMA プロセスで共通の分数階差分次数を持つ場合の予測子係数および予測誤差共分散の収束速度を証明し、長記憶過程における明示的な減衰率を伴う最初の厳密な多変量 Baxter の不等式を提供する。

ABSTRACT

For a multivariate stationary process, we develop explicit representations for the finite predictor coefficient matrices, the finite prediction error covariance matrices and the partial autocorrelation function (PACF) in terms of the Fourier coefficients of its phase function in the spectral domain. The derivation is based on a novel alternating projection technique and the use of the forward and backward innovations corresponding to the predictions based on the infinite past and future, respectively. We show that such representations are ideal for studying the rates of convergence of the finite predictor coefficients, prediction error covariances, and the PACF as well as for proving a multivariate version of Baxter's inequality for a multivariate FARIMA process with a common fractional differencing order for all components of the process.

研究の動機と目的

• 古典的な証明が有界なスペクトル密度に依存するため失敗する状況における Baxter の不等式の多変量長記憶 Stationary プロセスへの拡張。
• スペクトル領域における行列値位相関数の Fourier 係数を用いた、有限予測子係数、予測誤差共分散、偏自己相関関数（PACF）の明示的表現の開発。
• 共通の分数階差分次数を持つ q 次元 FARIMA プロセスにおける予測子係数および PACF の収束速度の確立。
• 行列値 AR および MA 係数の非可換性を克服するため、行列値位相関数の Fourier 係数と特化した交互射影法を導入。
• 最小限の条件下で多変量 Baxter の不等式を証明し、先行の単変量および多変量結果を改善。

提案手法

• スペクトル領域における行列値位相関数の Fourier 係数を用いて、有限予測子係数、予測誤差共分散、PACF の明示的表現を導出。
• 行列値 AR および MA 係数の非可換性を克服するため、多変量プロセスに特化した強化された交互射影法を導入。
• 無限の過去および未来からの予測に基づく前向きおよび後向きのイノベーション過程を用いて、重要な恒等式を導出。
• von Neumann の交互射影フレームワークをスペクトル領域に適用し、精密な漸近的解析を可能にする。
• ガンマ関数の性質とスペクトル条件を用いて、係数列のノルムをバインドすることで収束速度を確立。
• 共通の分数階差分次数 d ∈ (0, 1/2) を持つ q 次元 FARIMA プロセスに結果を特化し、明示的な減衰率を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル密度が有界でない状況における、長記憶プロセスへの Baxter の不等式の拡張は可能か？
• RQ2 多変量 FARIMA プロセスにおける有限予測子係数、予測誤差共分散、PACF の正確な収束速度は何か？
• RQ3 予測子係数の表現を導出する際、行列値 AR および MA 係数の非可換性はどのように扱えるか？
• RQ4 多変量長記憶設定において収束速度の導出を可能にするスペクトル領域表現は何か？
• RQ5 共通の分数階差分次数 d ∈ (0, 1/2) を持つ多変量 FARIMA プロセスの有限予測子係数が、無限時間枠の対応物へ O(n^{-d}) の速度で収束することが示せるか？

主な発見

• q 次元 FARIMA プロセスで d ∈ (0, 1/2) の場合、有限予測子係数は定理 6.8 で示されるように、O(n^{-d}) の速度で無限時間枠の係数へ収束する。
• 予測誤差共分散行列 v_n および ṽ_n は n → ∞ のとき O(n^{-1-d}) の速度で減衰し、ガンマ関数および g(1)^{-1} を含む明示的定数を伴う。定理 6.5 に記載。
• 偏自己相関関数 α_n は d ∈ (-1/2, 1/2) ⋯ {0} の範囲で O(n^{-1-d}) の速度で減衰し、明確な漸近的挙動を確立する。
• 有限予測子係数のノルムは lim_{n→∞} n^{1+d} ||φ_n|| = ||c_0 g(1)^{-1}|| / |Γ(-d)| を満たし、鋭い漸近的表現を提供する。
• d ∈ (0, 1/2) の場合、多変量 FARIMA プロセスにおいて Baxter の不等式が成立し、定数 K が存在して ∑_{j=1}^n ||φ_{n,j} - φ_j|| ≤ K ∑_{j=n+1}^∞ ||φ_j|| を満たす。定理 6.9 で証明済み。
• 時間反転を用いた後向き Baxter の不等式が確立され、d ∈ (0, 1/2) の場合、∑_{j=1}^n ||φ̃_{n,j} - φ̃_j|| ≤ K̃ ∑_{j=n+1}^∞ ||φ̃_j|| が成り立つ。収束挙動の対称性が確認される。