[論文レビュー] Bayes Factors for Peri-Null Hypotheses

Alexander Ly, Eric‐Jan Wagenmakers|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2021

Statistical Methods and Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ベイズ検定における鋭い点対立仮説の実用的代替手段として、点対立値の周囲に狭い事前分布を配置したperi-null仮説の使用を検討する。中程度のサンプルサイズではperi-nullベイズ因子は点対立仮説のベイズ因子とほぼ同一であるが、大規模なサンプルでは一貫性を失い、最尤推定量における事前密度比に依存する極限値に収束する。これは帰無仮説の下での信頼性を損なう。

ABSTRACT

A perennial objection against Bayes factor point-null hypothesis tests is that the point-null hypothesis is known to be false from the outset. We examine the consequences of approximating the sharp point-null hypothesis by a hazy `peri-null' hypothesis instantiated as a narrow prior distribution centered on the point of interest. The peri-null Bayes factor then equals the point-null Bayes factor multiplied by a correction term which is itself a Bayes factor. For moderate sample sizes, the correction term is relatively inconsequential; however, for large sample sizes the correction term becomes influential and causes the peri-null Bayes factor to be inconsistent and approach a limit that depends on the ratio of prior ordinates evaluated at the maximum likelihood estimate. We characterize the asymptotic behavior of the peri-null Bayes factor and briefly discuss suggestions on how to construct peri-null Bayes factor hypothesis tests that are also consistent.

研究の動機と目的

• 点対立仮説が実際には常に誤りであるという一般的な批判に対処するため、それらをperi-null仮説に置き換えること。
• 帰無仮説が点対立値の周囲に狭い事前分布で近似される場合のベイズ因子の漸近的挙動を検討すること。
• サンプルサイズが増加する際、peri-nullベイズ因子が帰無仮説および対立仮説の両方の下で、真の仮説を正しく支持するという意味で一貫性を保つかどうかを評価すること。
• 大サンプル設定における一貫性を回復するための、peri-null事前分布の代替構成法を提案および分析すること。
• 事前分布幅の選択が、仮説検定におけるベイズ因子の漸近的挙動に与える影響を明確にすること。

提案手法

• 本稿では、peri-null仮説を、点対立値を中心とする狭い事前分布としてモデル化し、特に小さな分散κ₀²をもつ正規分布を用いる。
• peri-nullベイズ因子は、標準的な点対立仮説ベイズ因子と、それ自体がperi-null事前分布と点対立事前分布を比較するベイズ因子である補正項の積として導出される。
• 補正項は、最尤推定量における事前密度比に依存しており、これは大規模なサンプルサイズ下で顕著になる。
• ラプラス近似を用いて、peri-nullベイズ因子の漸近的標本分布を導出し、それが事前密度比に依存する極限値に収束することを明らかにする。
• 3つの代替構成法を分析する：固定幅peri-null、peri-point混合モデル、およびκ₀をnに従って減少させる縮小peri-null（κ₀ = cσ/√nなど）。
• 理論的整合性は、n → ∞の下でベイズ因子が帰無仮説下で無限大に発散し、対立仮説下で0に収束するかどうかを検討することで評価される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点対立仮説を、帰無値の周囲に狭い事前分布を配置したperi-null仮説に置き換えることで、大規模サンプルにおけるベイズ因子の一貫性が保たれるか？
• RQ2 peri-nullベイズ因子の漸近的挙動は、標準的な点対立仮説ベイズ因子とどのように異なるか？
• RQ3 事前分布幅（κ₀）が、peri-nullベイズ因子の極限値を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 縮小幅や混合事前分布などの代替peri-null構成法が、ベイズ因子の一貫性を回復できるか？
• RQ5 最尤推定量における事前密度比に起因する補正項が、大規模サンプル下でperi-nullベイズ因子の挙動を支配する程度はどの程度か？

主な発見

• 中程度のサンプルサイズでは、peri-nullベイズ因子は点対立仮説ベイズ因子とほぼ同一であり、近似は実用上問題がない。
• 大規模なサンプルサイズでは、peri-nullベイズ因子は一貫性を失い、帰無仮説下で発散せず、対立仮説下で0に収束せず、有限の極限値に収束する。
• peri-nullベイズ因子の極限値は、最尤推定量における事前密度比に依存し、これはデータとは無関係で、事前分布幅とモデルパラメータにのみ依存する。
• peri-point混合モデルは帰無仮説下でのみ一貫性を達成するが、対立仮説下では達成せず、従来の整合性の望ましい性質を満たさない。
• 縮小peri-null仮説（例：κ₀ = cσ/√n）は一貫性を回復するが、事前分布が意図するサンプルサイズに依存するため、整合性の欠如（coherence）を引き起こし、尤度の原理に反する。
• 本稿は、漸近的挙動の観点から、peri-nullアプローチが点対立仮説に対してほとんど利点を提供せず、対立仮説下で証拠が有界になるため、誤った結論を導く可能性があると結論づける。