[論文レビュー] Bayesian estimation for large scale multivariate Ornstein-Uhlenbeck model of brain connectivity

Andrea Insabato, John P. Cunningham+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Functional Brain Connectivity Studies参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、脳機能結合のための大規模な多次元Ornstein-Uhlenbeck（mOU）モデルにおいて、モーメント法とリャプノフ最適化を用いたベイズ推定を比較している。ベイズ推定はモーメント法と数学的に同等であるが、スケーラビリティが著しく低く、数値的不安定性を示す。特に、結合推定値における虚数部の増大により、リャプノフ最適化に比べて著しく精度が低い。リャプノフ最適化は、少ない時間サンプル数で実fMRIデータに対してより優れた分類性能を達成する。

ABSTRACT

Estimation of reliable whole-brain connectivity is a crucial step towards the use of connectivity information in quantitative approaches to the study of neuropsychiatric disorders. When estimating brain connectivity a challenge is imposed by the paucity of time samples and the large dimensionality of the measurements. Bayesian estimation methods for network models offer a number of advantages in this context but are not commonly employed. Here we compare three different estimation methods for the multivariate Ornstein-Uhlenbeck model, that has recently gained some popularity for characterizing whole-brain connectivity. We first show that a Bayesian estimation of model parameters assuming uniform priors is equivalent to an application of the method of moments. Then, using synthetic data, we show that the Bayesian estimate scales poorly with number of nodes in the network as compared to an iterative Lyapunov optimization. In particular when the network size is in the order of that used for whole-brain studies (about 100 nodes) the Bayesian method needs about eight times more time samples than Lyapunov method in order to achieve similar estimation accuracy. We also show that the higher estimation accuracy of Lyapunov method is reflected in a much better classification of individuals based on the estimated connectivity from a real dataset of BOLD fMRI. Finally we show that the poor accuracy of Bayesian method is due to numerical errors, when the imaginary part of the connectivity estimate gets large compared to its real part.

研究の動機と目的

• 限られたfMRI時間系列データから高次元性を持つ全脳結合を信頼できるものとして推定する課題に対処する。
• 大規模なmOUモデルにおけるベイズ推定の性能を、モーメント法およびリャプノフ最適化と比較する。
• 特に数値的不安定性に起因する、ベイズ法における推定精度の低さの原因を調査する。
• 推定精度が、推定された結合を用いた個々の分類タスクに与える影響を評価する。
• 代替的な事前分布や正則化技術によるベイズ推定の改善可能性を検討する。

提案手法

• 結合行列 $C$、ノイズ分散 $\Sigma$、時間定数 $\tau_x$ を持つネットワークモデルとして、多次元オーナイズ・ウーレンバック（mOU）過程を形式化する。
• 理論的共分散 $Q^0$ をモデルパラメータから計算するために、リャプノフ方程式 $JQ^0 + Q^0J^T + \Sigma = 0$ を用いる。
• モーメント法を適用し、$\hat{J}$ を $\hat{J} = \frac{1}{\tau} \left[ \log m(\hat{Q}^\tau (\hat{Q}^0)^{-1}) \right]^T$ により推定する。ここで $\log m$ は行列対数関数である。
• 一様事前分布を用いたベイズ推定を実装し、モーメント法と同等の結果を得る。その後、事後分布の平均推定値を計算する。
• 反復的リャプノフ最適化を用い、共分散行列およびラグ付き共分散行列の誤差を最小化することで推定値を精緻化する。
• 構造的結合性をマスクとして用い、推定値の解釈可能性およびスパarsityを向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様事前分布を用いたmOUモデルにおけるベイズ推定は、モーメント法と数学的に同等であるか？
• RQ2 ネットワークサイズおよび時間サンプル数の増加に伴い、ベイズ法の推定精度はリャプノフ最適化と比べてどのように変化するか？
• RQ3 特に大規模脳ネットワークにおいて、ベイズmOU推定における主な誤差要因は何か？
• RQ4 リャプノフ最適化による推定精度の向上は、実fMRIデータにおける下流の分類タスクの性能向上にどのように反映されるか？
• RQ5 行列対数演算における数値的不安定性は、結合推定値の虚数部と実数部の比が増大することに起因しているか？

主な発見

• 一様事前分布を用いたベイズ推定は、mOUモデルのパrameter推定において、数学的にモーメント法と同等である。
• ベイズ法はリャプノフ最適化に比べて著しく推定精度が低く、100ノードネットワークにおいては、同等の性能を得るための時間サンプル数が約8倍必要となる。
• ベイズ推定における主な誤差要因は、ネットワークサイズの増大に伴い、虚数部が実数部に対して著しく増大する行列対数演算における数値的不安定性である。
• リャプノフ法は、実fMRIデータを用いた被験者識別タスクにおいて、より高い分類精度を達成する。ヴァィオリンプロットの分布は、100回のランダムな訓練・テスト分割において一貫して優れた性能を示している。
• ベイズ法における誤差は、共分散やラグ付き共分散の推定が不正確であるためではなく、比 $\hat{\Lambda} = (\hat{Q}^0)^{-1} \hat{Q}^\tau$ に対する行列対数演算に起因する。
• 推定された結合の虚数部のノルムと実数部のノルムの比は、ネットワークサイズの増大に伴い増加する。これにより、対数演算における数値的不安定性が主な誤差要因であることが裏付けられた。