[論文レビュー] Bayesian estimation of discrete Burr distribution with two parameters

Halaleh Kamari, Hossein Bevrani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、後方分布が非標準的であるため、2パラメータ離散Burr分布のベイズ推定を、メトロポリス・ハスティングスアルゴリズムを用いて提案する。この手法は、二乗誤差および絶対誤差損失関数の下で、パラメータ α と θ を効果的に推定でき、シミュレーションにより、複雑な尤度構造に対しても、正確で安定した後方推定が得られることを示している。

ABSTRACT

So far, various techniques have been implemented for generating discrete distributions based on continuous distributions. The characteristics and properties of this kind of probability distributions have been studied. Furthermore, the estimation of related parameters have been computed trough classical methods. However, a few studies addressed the parameter estimate issue of these distributions through Bayesian methods. This is essentially because of the complexity of the model whatever the number of parameter is and the fact that in general they contain a large number of parameters to be estimated. This paper deals with computing Bayes estimate of the parameters of discrete Burr distribution with two parameters. Since the resulting posterior distribution of the parameters is not standard, we apply Metropolis-Hastings algorithm to simulate from the posterior density.

研究の動機と目的

• 離散寿命モデルに広く用いられる離散Burr分布に対するベイズ的パラメータ推定手法の不足に対処すること。
• 後方分布が非標準的である場合に、2パラメータ（α と θ）の離散Burr分布の推定に計算的に実行可能なアプローチを開発すること。
• シミュレートされたデータを用いて、二乗誤差および絶対誤差損失関数の下でのベイズ推定量の性能を評価すること。
• 特にメトロポリス・ハスティングスを含むMCMC手法が、離散寿命モデルにおける複雑な後方分布を近似するのに有効であることを示すこと。

提案手法

• 連続的なBurr-XII分布の離散化として、床関数を用いた離散Burr分布（DBD）を定式化する。
• i.i.d.観測値からの尤度関数を、累積ハザード項の差の積として表現する。
• θ に対して非情報的および共役の事前分布（ベータ分布）を指定し、α と θ の組み合わせ事前分布を、逆スケールおよびベータ成分を組み合わせた形で定義する。
• α と θ それぞれに一様分布およびガンマ分布を提案分布として用い、メトロポリス・ハスティングスアルゴリズムを用いて、結合後方分布からのシミュレーションを実行する。
• MCMCのサンプルを用いて、二乗誤差および絶対誤差損失関数の下での後方平均推定値を計算する。
• 真のパラメータ値を変化させたシミュレーションスタディを通じて、バイアス、分散、推定値の相関を評価する（α = 1,2,3,4；θ = 0.1,0.2,0.3）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後方分布が非標準的である場合に、2パラメータ離散Burr分布に対してベイズ推定を効果的に適用する方法は何か？
• RQ2 二乗誤差損失と絶対誤差損失の下で、メトロポリス・ハスティングスMCMCのα と θ の推定性能はいかなるものか？
• RQ3 シミュレートされたデータセットにおいて、真のパラメータ値とサンプルサイズが異なる条件下で、α と θ の後方推定値はどのように振る舞うか？
• RQ4 この離散分布フレームワークにおいて、事前分布の指定が後方推定の正確性と精度に与える影響は何か？
• RQ5 さまざまなパラメータ設定において、α と θ の推定値の分散および相関はどのように変化するか？

主な発見

• 後方分布が非標準的かつ解析的に扱いにくい場合であっても、メトロポリス・ハスティングスアルゴリズムが、α と θ の両方について正確な後方推定値を生成できることを示した。
• 二乗誤差損失の下では、α の後方平均推定値は真の値に近く（例：真のα=1、推定平均≈1.1002、θ=0.1）、α が大きくなるほど分散が増加する傾向を示した。
• θ については、推定値が安定的であり、真の値に近く（例：θ=0.1、推定平均≈0.0812）、θ が大きくなるほど分散が減少する傾向を示した。
• α の後方分散は、α の値が大きくなると著しく増加し、α=4、θ=0.1 の場合に二乗誤差損失下で最大55.25に達した。
• α と θ の推定値間の相関は中程度（0.0557〜0.3242の範囲）であり、結合後方分布に若干の依存関係があることを示唆している。
• 絶対誤差損失の下でも、後方推定値は正確であり、分散および相関の傾向が同様であったため、損失関数にかかわらず一貫性があることが確認された。