[論文レビュー] Bayesian Estimation of Kendall's tau Using a Latent Normal Approach

Johnny van Doorn, Alexander Ly+2 more|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Mar 6, 2017

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、漸近的手法の限界を克服するため、Kendallの𝜏を推定するためのベイズ的潜在正規アプローチを提案する。この手法は、順位データを二変量正規潜在構造でモデル化することで、MCMCサンプリングを用いた𝜏の完全な後方分布推論を可能にし、特に小標本サイズや高相関の下で、漸近的近似よりもより正確で精密な推定を実現する。

ABSTRACT

The rank-based association between two variables can be modeled by introducing a latent normal level to ordinal data. We demonstrate how this approach yields Bayesian inference for Kendall's rank correlation coefficient, improving on a recent Bayesian solution from asymptotic properties of the test statistic.

研究の動機と目的

• Kendallの𝜏に対する既存のベイズ的手法の限界、特に小標本や極端な相関値下で崩壊する漸近的近似に依存する点を是正すること。
• Kendallの𝜏が有する非パラメトリックな利点（例えば単調変換に対して不変であること、外れ値に対して頑健であること）を保ちつつ、強固なベイズ枠組みを構築すること。
• Greinerの関係を用いて潜在正規相関を順位相関に変換することで、Kendallの𝜏に対する完全なベイズ推論手順を提供すること。
• さまざまなコプサモデルおよび標本サイズ下での、提案手法と既存の漸近的手法の性能を比較すること。

提案手法

• 観測された順位データ (x, y) を、相関 𝜌 を持つ二変量正規分布に従う潜在連続変数 (z^x, z^y) の順序尺度的表現とみなす。
• 潜在相関 𝜌 に一様事前分布を適用し、ベイズの定理を用いて同時後方分布 P(z^x, z^y, 𝜌 | x, y) を得る。
• 潜在変数および相関パラメータの条件付き分布を活用し、MCMCサンプリングを用いて同時後方分布からのサンプリングを実行する。
• Greinerの関係式 𝜏 = (2/𝜋) arcsin(𝜌) を用いて、潜在相関 𝜌 の後方サンプルを、Kendallの𝜏の後方サンプルに変換する。
• 𝜌 に一様事前分布を適用した場合に生じる 𝜏 への誘導事前分布を組み込む：𝜏 ∈ (−1, 1) に対して p(𝜏) = (𝜋/4) cos(𝜋𝜏/2)。これは、𝜌 に一様事前分布を適用した場合の変換に由来する。
• 潜在正規法と2つの漸近的手法（固定分散1を仮定するオリジナルの漸近法、観測された𝜏を用いて分散を推定する強化済み漸近法）を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小標本サイズ (n = 10, 20) および高相関 (𝜏 = 0.7) 条件下で、潜在正規ベイズ法は漸近的手法と比べてどのように Kendallの𝜏 を推定するか？
• RQ2 真の依存構造が正規性から逸脱する場合（例：Clayton, Gumbel, Frankコプシス下）、潜在正規アプローチは精度を維持できるか？
• RQ3 𝜏 に誘導された事前分布は後方推論にどのように影響を及ぼし、非情報的事前分布の代替として妥当か？
• RQ4 真の𝜏が非ゼロである場合、漸近的手法は後方分散をどの程度過小または過大に推定するか？
• RQ5 潜在正規法は、Kendallの𝜏の頑健性を保ちつつ、信用区間やベイズ因子を含む完全なベイズ推論を可能にするか？

主な発見

• 潜在正規法は、n = 10 および 𝜏 = 0.7 の条件下で、両方の漸近的手法よりも後方推定の精度と精度（精度）に優れる。この条件下では、漸近的手法が後方分布の幅を小さく推定し、過小推定を示す。
• 帰無仮説（𝜏 = 0）下では、3つの手法が類似した性能を示し、検定統計量の標本分布における単位分散の漸近的仮定が妥当であることを裏付けた。
• 強化済み漸近法は、観測された𝜏を用いて標本分散を推定することで、オリジナルの漸近法よりも後方分布の幅を小さくするが、依然として漸近的仮定と非ゼロ𝜏下での誤った分散指定に起因する欠陥を有する。
• 潜在正規法は、潜在正規性仮定の破れに対しても頑健であり、Clayton, Gumbel, Frank, Gaussian などの複数のコプシスモデルにおいて、安定した性能を維持した。
• 特に n が小さく 𝜏 が大きい条件下で、潜在正規法の後方中央値は、漸近的手法のそれよりも真の母数 𝜏 に近い値をとった。
• 𝜌 に一様事前分布を適用した場合に得られる 𝜏 への誘導事前分布は、非一様であり、極端値付近でより情報的となる。これは、Kendallの𝜏の既知の標本分布と整合的である。