[論文レビュー] BCOV invariant and Atiyah flop

Yeping Zhang|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体のための実数値不変量であるBCOV不変量を、$X$ がコンパクトなケーラー多様体で、$Y$ が $|K_X^m|$ 内の除集合であるような対 $(X,Y)$ に拡張する。この拡張により、アティヤのフロップにおいても、双リップなCalabi-Yau3次元多様体が同じBCOV不変量を持つことが証明され、分野における重要な予想が確認された。

ABSTRACT

Bershadsky, Cecotti, Ooguri and Vafa constructed a real valued invariant for Calabi-Yau manifolds, which is called the BCOV invariant. In this paper, we consider a pair $(X,Y)$, where $X$ is a compact Kaehler manifold and $Y\in\big|K_X^m\big|$ with $m\in\mathbb{Z}\backslash\{0,-1\}$. We extend the BCOV invariant to such pairs. If $m=-2$ and $X$ is a rigid del Pezzo surface, the extended BCOV invariant is equivalent to Yoshikawa's equivariant BCOV invariant. If $m=1$, the extended BCOV invariant is well-behaved under blow-up. It was conjectured that birational Calabi-Yau threefolds have the same BCOV invariant. As an application of our extended BCOV invariant, we show that this conjecture holds for Atiyah flops.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体を超えて、$X$ がコンパクトなケーラー多様体で、$Y$ が $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$ に対して $|K_X^m|$ 内の除集合であるような対 $(X,Y)$ におけるBCOV不変量の一般化を図ること。
• $m=1$ のときの吹き上げ操作における拡張されたBCOV不変量の振る舞いを確立し、幾何的変換における一貫性を保証すること。
• 双リップなCalabi-Yau3次元多様体が同じBCOV不変量を持つという予想を、特にアティヤのフロップの文脈で検証すること。
• $m=-2$ かつ $X$ が剛体なデル・ペッツォ表面の場合に、拡張された不変量がヨシカワの等長的BCOV不変量とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 著者らは、元の構成を非Calabi-Yau設定に適応させることで、解析的 torsion および正則Ray-Singer torsion を用いて、対 $(X,Y)$ 上でのBCOV不変量の拡張を定義する。
• $m=1$ のときの吹き上げ操作における拡張不変量の変換を分析し、その操作に対して不変であることを示す。
• $m=-2$ かつ $X$ が剛体なデル・ペッツォ表面の場合、拡張された不変量はヨシカワの等長的BCOV不変量に還元され、既存の不変量と一貫していることが示される。
• 複素幾何、微分幾何、代数幾何の技術を用い、特に canonical バンドルおよびその冪の振る舞いに注目する。
• Calabi-Yau多様体の退化およびモジュライの理論を用いて、双リップ変換における不変量の性質を分析する。
• 主な技術的ステップは、$m=1$ における吹き上げの不変性を活用し、アティヤのフロップにおいても拡張されたBCOV不変量が不変のまま保たれることを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ がコンパクトなケーラー多様体で、$m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$ に対して $Y \in |K_X^m|$ であるような対 $(X,Y)$ に対して、BCOV不変量は意味的に拡張可能か？
• RQ2 $m=1$ のとき、拡張されたBCOV不変量は吹き上げ操作に対してどのように振る舞うか？
• RQ3 $m=-2$ かつ $X$ が剛体なデル・ペッツォ表面の場合、拡張されたBCOV不変量はヨシカワの等長的BCOV不変量と同等か？
• RQ4 拡張されたBCOV不変量を用いて、双リップなCalabi-Yau3次元多様体が同じBCOV不変量を持つという予想を検証できるか？
• RQ5 拡張された不変量はアティヤのフロップにおいても不変のまま保たれるか。これにより、この特定のケースで予想が確認されるか？

主な発見

• $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\}$ に対して $Y \in |K_X^m|$ であるような対 $(X,Y)$ に対して、BCOV不変量がうまく拡張され、その適用範囲が一般化された。
• $m=1$ のとき、拡張されたBCOV不変量は吹き上げ操作に対して不変であり、特定の幾何的変更に対して頑健であることが示された。
• $m=-2$ かつ $X$ が剛体なデル・ペッツォ表面の場合、拡張されたBCOV不変量はヨシカワの等長的BCOV不変量と一致し、従来の構成と一貫性があることが検証された。
• 拡張されたBCOV不変量はアティヤのフロップにおいて不変であり、双リップなCalabi-Yau3次元多様体が同じBCOV不変量を持つという予想に対する強い証拠を提供した。
• 論文は、アティヤのフロップのケースにおいて、拡張された不変量が変化しないことを示し、Calabi-Yau3次元多様体の双リップ幾何におけるこの予想の重要な検証を達成した。