[論文レビュー] BCOV ring and holomorphic anomaly equation

Shinobu Hosono|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau三様体のモジュライ空間上の幾何的微分環であるBCOV環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$を導入し、Kaneko-Zagierの準モジュラー形式理論に完全な類似性を確立する。BCOV正則異常方程式を縮小環における一階微分方程式系として定式化し、解の一意性を証明するとともに、モジュラー再帰を介して高 genus Gromov-Witten不変量と関連付ける。

ABSTRACT

We study certain differential rings over the moduli space of Calabi-Yau manifolds. In the case of an elliptic curve, we observe a close relation to the differential ring of quasi-modular forms due to Kaneko and Zagier.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau三様体のモジュライ空間上に幾何的微分環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$を構成し、Kaneko-Zagierのほぼ正則形式および準モジュラー形式理論を一般化すること。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\Gamma}$および${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\text{hol}}$をそれぞれ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$のモジュラー不変な上昇および正則極限として定義し、物理的BCOV構造をモデル化すること。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$を有限生成部分環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$に縮約し、正則異常方程式の構造を単純化すること。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$におけるBCOV正則異常方程式が一階線形系の形をとり、高 genus Gromov-Wittenポテンシャルの解が一意に定まることを示すこと。

提案手法

• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$を、モジュライ空間上のバンドルの有理型切断によって生成される微分環として定義し、Weil-Petersson幾何および特別なケーラー構造を用いる。
• $D_{\tau} = \frac{1}{2\pi i}\left(\frac{\partial}{\partial\tau} + \frac{k}{\tau - \bar{\tau}}\right)$という微分作用素を導入し、Calabi-Yauモジュライ空間へのKaneko-Zagierの微分作用の一般化を行う。
• $\Gamma$-不変な伝播関数$\hat{S}^{ij}, \hat{S}^i, \hat{S}$の上昇を用いて${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\Gamma}$を構成し、BCOVフレームワーク内の有理型の曖昧性を解消する。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\text{hol}}$を、$\bar{t} \to \infty$の極限をとることで定義し、準モジュラー形式における正則部の抽出に類似させる。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$におけるBCOV異常方程式を、次式の系として導出する：$\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}^{ij}} = Q_{ij}^{(g-1)}$, $\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}^{i}} = -Q_{i}^{(g-1)}$, $\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}} = Q^{(g-1)}$（$g \geq 2$）、初期データは genus 1 の振幅から得る。
• 縮小環における重みの考察を用いて、重み$(2-2g, 0)$の${\mathcal{F}}^{(g)} \in \mathbb{Q}[\hat{S}^{ij}, \hat{S}^k, \hat{S}, C_{ijk}]$の解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KanekoとZagierの準モジュラー形式理論を、幾何的データを用いてCalabi-Yau三様体のモジュライ空間へ一般化することは可能か？
• RQ2 BCOV正則異常方程式の正確な代数的構造は、有限生成の微分環における縮小環でどのように表現されるか？
• RQ3 ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$, ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\Gamma}$, および${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\text{hol}}$の間の関係および物理的BCOV理論との関係は何か？
• RQ4 BCOV異常方程式は、幾何的に定義された環において一階微分方程式系として再定式化可能であり、その解が一意に定まるか？
• RQ5 有理型楕円曲面上のGromov-Wittenポテンシャルのモジュラー再帰式(5.1)とBCOV正則異常方程式の間には直接的な対応があるか？

主な発見

• BCOV環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$は、有理型切断およびWeil-Petersson幾何を用いて、Calabi-Yau三様体のモジュライ空間上の幾何的微分環として構成される。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0}$は、有限生成微分環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$に縮約可能であり、正則異常方程式の構造が単純化される。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$において、BCOV正則異常方程式は一階線形系の形をとる：$\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}^{ij}} = Q_{ij}^{(g-1)}$, $\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}^{i}} = -Q_{i}^{(g-1)}$, $\frac{\partial{\mathcal{F}}^{(g)}}{\partial\hat{S}} = Q^{(g-1)}$（$g \geq 2$）。
• この系の解${\mathcal{F}}^{(g)}$は、重み$(2-2g, 0)$の$\mathbb{Q}[\hat{S}^{ij}, \hat{S}^k, \hat{S}, C_{ijk}]$において一意に定まり、初期データは genus 1 振幅から得られる。
• ${\mathcal{R}}_{BCOV}^{0,\text{red}}$におけるBCOV異常方程式の構造は、全環${\mathcal{R}}_{BCOV}^{\Gamma,\infty}$においても保存され、物理的妥当性が裏付けられる。
• 本稿では、有理型楕円曲面上のGromov-Wittenポテンシャルのモジュラー再帰式(5.1)とBCOV正則異常方程式との直接的な関係を確立し、今後の研究で同値性が証明されると期待される。