[論文レビュー] Beables in Algebraic Quantum Mechanics

Rob Clifton|ArXiv.org|Nov 9, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、C*-代数を用いた代数的量子力学において、物理的に一貫して確定値を割り当てられる「ベーブル」（beables）—物理的量—の代数的特徴付けを提案する。ベーブルは与えられた状態に対して「準可換（quasicommutative）」な部分代数を形成しなければならないことが示され、非可換な観測可能量が特定の状態においてもベーブルとしての資格を持つことが可能であり、有限次元系における最大ベーブル部分代数の完全分類がなされる。

ABSTRACT

John Bell once argued that one ought to select, out of the 'observables' of quantum theory, some subset of 'beables' that can be consistently ascribed determinate values. Moreover, this subset should be selected so as to guarantee (among other things) that we can dispense with the orthodox interpretation's loose talk about 'measurement values': "...the probability of a beable being a particular value would be calculated just as was formerly calculated the probability of observing that value". Working in the framework of C*-algebras (in particular, Segal algebras), I propose an algebraic characterization of those subsets of bounded observables of a quantum system that can have beable status with respect to any (fixed) state of the system. It turns out that observables with beable status in a state need not all commute (a possibility Bell himself does not consider), but they must at least form a certain kind of 'quasicommutative' subalgebra determined by the state. A virtue of the analysis is that it applies to beables with continuous spectra, usually neglected in discussions of the no-hidden-variables theorems. In the (very) special case where the algebra of observables for a system is representable on a finite-dimensional Hilbert space, I give a complete characterization of the maximal beable subalgebras determined by any state of the system; the infinite-dimensional case remains open. These results are discussed in relation to previous results of a similar nature, to 'no-collapse' interpretations of quantum mechanics, and to algebraic relativistic quantum field theory.

研究の動機と目的

• 量子理論のC*-代数的定式化において、どの量子観測可能量が「ベーブル」（物理的に現実的で、確定した値を持つもの）とみなせるかを厳密に代数的枠組みで同定するためのフレームワークを提供すること。
• ベルのベーブル概念を可換な観測可能量に限らず、非可換な観測可能量が特定の状態でベーブルとしての資格を持つことを可能にする、より広い代数的条件を同定することで、それを拡張すること。
• 従来の隠れ変数に関する定理が通常連続スペクトルを除外するという制限を克服し、このような場合にも適用可能なベーブル基準を提示すること。
• 波動関数の崩壊を避ける解釈（たとえば一貫した歴史や多世界解釈）におけるベーブルの役割を明確にし、物理的に現実的な構造を同定すること。
• 任意の与えられた状態に対して、有限次元系における最大ベーブル部分代数を特徴付け、完全な分類を提供すること。

提案手法

• セガール代数を用いることで、C*-代数的枠組み内にベーブルを形式化し、状態依存の代数的条件としてベーブル状態を定義すること。
• 与えられた状態において、観測可能量の集合に確定値を一貫して割り当てられるために必要な条件として、「準可換部分代数」の概念を導入すること。
• ベーブル値の確率割り当てが、標準的な量子確率規則を再現する必要があるという要請から、準可換条件を導出すること。
• 有限次元ヒルベルト空間にこのフレームワークを適用し、代数と状態の構造的解析により、最大ベーブル部分代数の完全な特徴付けを達成すること。
• 状態依存のスペクトル射影と可換子構造を用いて、準可換条件を満たす最大の部分代数を同定すること。
• ベーブルが一貫した客観的物理的構造を形成できることを示し、代数的相対論的量子場理論や崩壊なし解釈への関連を提示すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた量子状態において、観測可能量の部分集合が有効なベーブル集合とみなされるために満たすべき代数的条件は何か？
• RQ2 非可換な観測可能量は、状態において同時にベーブルとなり得るか？ もし可能であれば、どのような代数的条件下で成立するか？
• RQ3 連続スペクトルを持つ観測可能量を含むように、ベーブルの概念を拡張することは可能か？ これは、通常の隠れ変数に関する定理が除外するケースである。
• RQ4 与えられた状態に対して、有限次元量子系における最大ベーブル部分代数の構造はどのようなものか？
• RQ5 提案されたベーブル構造は、波動関数の崩壊を避ける量子力学の解釈とどのように関係しているか？

主な発見

• 与えられた状態に対するベーブルは、「準可換部分代数」として形成されなければならない。これは完全な可換性よりも弱いが、一貫した値割り当てに十分な条件である。
• 非可換な観測可能量が状態において同時にベーブルとして成立し得る。これはベルが検討しなかった可能性であり、準可換条件を満たす限り成立する。
• このフレームワークは連続スペクトルを持つ観測可能量にも成功裏に拡張可能であり、従来の隠れ変数定理の主要な制限を克服している。
• 有限次元系では、最大ベーブル部分代数が完全に特徴付けられる。それは、状態に対して準可換条件を満たす最大の部分代数である。
• 結果として、波動関数の測定による崩壊を排除する解釈を支持する根拠が得られ、量子力学における客観的物理的構造を同定する基盤が提供される。
• 分析により、ベーブルの集合は状態に依存しており、系の代数的構造だけでは固定されないことが明らかになった。これは、物理的現実を決定づける要因として状態の役割が重要であることを示している。