[論文レビュー] Beating Random Assignment for Approximating Quantum 2-Local Hamiltonian Problems

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ランダム割り当ての0.75-近似境界を上回る、量子2-局所ハミルトニアン問題に対する最初の古典的多項式時間近似アルゴリズムを提示する。半定値計画法（SDP）の緩和、エルミート多項式解析、および生成状態への新規ラウンド化スキームを活用することで、一般のランク3プロジェクタ型インスタンスに対しては0.764-近似、厳密に二次的なインスタンスに対しては0.801-近似（数値的に0.821を示唆）を達成する。これらのインスタンスは、最も困難なケースであると予想されている。

ABSTRACT

The quantum k-Local Hamiltonian problem is a natural generalization of classical constraint satisfaction problems (k-CSP) and is complete for QMA, a quantum analog of NP. Although the complexity of k-Local Hamiltonian problems has been well studied, only a handful of approximation results are known. For Max 2-Local Hamiltonian where each term is a rank 3 projector, a natural quantum generalization of classical Max 2-SAT, the best known approximation algorithm was the trivial random assignment, yielding a 0.75-approximation. We present the first approximation algorithm beating this bound, a classical polynomial-time 0.764-approximation. For strictly quadratic instances, which are maximally entangled instances, we provide a 0.801 approximation algorithm, and numerically demonstrate that our algorithm is likely a 0.821-approximation. We conjecture these are the hardest instances to approximate. We also give improved approximations for quantum generalizations of other related classical 2-CSPs. Finally, we exploit quantum connections to a generalization of the Grothendieck problem to obtain a classical constant-factor approximation for the physically relevant special case of strictly quadratic traceless 2-Local Hamiltonians on bipartite interaction graphs, where a inverse logarithmic approximation was the best previously known (for general interaction graphs). Our work employs recently developed techniques for analyzing classical approximations of CSPs and is intended to be accessible to both quantum information scientists and classical computer scientists.

研究の動機と目的

• 古典的アルゴリズムを用いて、量子2-局所ハミルトニアン問題における長年の0.75-近似の壁を打ち破ること。
• 量子モーメント行列を生成状態に写像する、半定値計画法の緩和に対する新しいラウンド化技術の開発。
• 物理的に関連性があり、最も困難なインスタンスであると予想される、厳密に二次的かつトレースレスな2-局所ハミルトニアンの近似度の分析。
• 古典的近似技法を、保証付きの証明が可能な量子制約充足問題に拡張すること。
• 量子情報科学者と古典的コンピュータサイエンティストの両方にアクセス可能なフレームワークの提供。

提案手法

• ランク3プロジェクタ型項を含む2-局所ハミルトニアン問題を、量子制約充足問題として定式化する。
• 2キュービット状態のモーメント行列に対する半定値計画法の緩和を適用する。
• 特異値分解（SVD）とモーメント行列のパrameter化を用いて、各エッジ項の期待値を表現する。
• エルミート多項式展開を用いて、ラウンド分布下でのエッジ項の期待値を分析する。
• 多面体上の有理関数の境界を導出し、SDP緩和値とラウンド手順における期待値を関連付ける。
• 確率的解析を介して近似保証を保持しつつ、SDP解を生成状態に写像する新規ラウンドアルゴリズムを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク3プロジェクタ型項を含む2-局所ハミルトニアン問題に対して、古典的多項式時間アルゴリズムが0.75を超える近似を達成できるか？
• RQ2 最大にエンタングルされた、厳密に二次的なケースは、この問題において最も近似が難しいインスタンスであるか？
• RQ3 エルミート多項式解析を用いて、ラウンドスキーム下での量子CSPにおけるエッジ項の期待値を有界にできるか？
• RQ4 提案されたラウンド手法により、トレースレスで双方向の2-局所ハミルトニアンに対して定数倍近似が達成可能か？これは、従来の逆対数近似を改善するものか？
• RQ5 プロジェクタ型でない、正定値行列型の局所項に対しても、プロジェクタに分解することで解析を拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、一般のランク3プロジェクタ型項を含む2-局所ハミルトニアン問題に対して、0.764-近似の古典的多項式時間アルゴリズムを提示し、ランダム割り当ての0.75の境界を上回る。
• 厳密に二次的なインスタンス（最大にエンタングルされ、対称的）に対しては0.801-近似を達成し、数値的証拠から0.821に達する可能性が示唆される。
• 著者らは、厳密に二次的なインスタンスが最も近似が難しいと予想し、そのクラスにおいて優れた性能を示すことで、この予想を支持している。
• トレースレスで双方向の2-局所ハミルトニアンに対して、一般の相互作用グラフ上で定数倍近似が達成され、従来の逆対数近似から改善された。
• エルミート展開、モーメント行列制約、多面体上の有理関数最適化を組み合わせた新規分析により、ラウンドアルゴリズムの有効性が示された。
• 本手法は一般化可能であり、プロジェクタ型またはPSD局所項を含む量子最適化問題における将来の近似アルゴリズムのフレームワークを提供する。