[論文レビュー] Beating the curse of dimensionality in options pricing and optimal stopping

David A. Goldberg, Yilun Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 91被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、最適値を再帰的に定義された無限和の形で表現することにより、高次元のパス依存オプションの価格設定および最適停止問題を解くための新規な純双対アルゴリズムを提案する。この手法により、近似の精度とネスティング深さの間でトレードオフが可能となり、k項で切り捨てた場合に誤差境界が1/kとなる。計算複雑性は時間枠Tに対して多項式的であり、次元にほとんど依存せず、基底関数や事前分布に関する知識を必要としない。

ABSTRACT

The fundamental problems of pricing high-dimensional path-dependent options and optimal stopping are central to applied probability and financial engineering. Modern approaches, often relying on ADP, simulation, and/or duality, have limited rigorous guarantees, which may scale poorly and/or require previous knowledge of basis functions. A key difficulty with many approaches is that to yield stronger guarantees, they would necessitate the computation of deeply nested conditional expectations, with the depth scaling with the time horizon T. We overcome this fundamental obstacle by providing an algorithm which can trade-off between the guaranteed quality of approximation and the level of nesting required in a principled manner, without requiring a set of good basis functions. We develop a novel pure-dual approach, inspired by a connection to network flows. This leads to a representation for the optimal value as an infinite sum for which: 1. each term is the expectation of an elegant recursively defined infimum; 2. the first k terms only require k levels of nesting; and 3. truncating at the first k terms yields an error of 1/k. This enables us to devise a simple randomized algorithm whose runtime is effectively independent of the dimension, beyond the need to simulate sample paths of the underlying process. Indeed, our algorithm is completely data-driven in that it only needs the ability to simulate the original process, and requires no prior knowledge of the underlying distribution. Our method allows one to elegantly trade-off between accuracy and runtime through a parameter epsilon controlling the associated performance guarantee, with computational and sample complexity both polynomial in T (and effectively independent of the dimension) for any fixed epsilon, in contrast to past methods typically requiring a complexity scaling exponentially in these parameters.

研究の動機と目的

• 高次元のパス依存オプションの価格設定および最適停止問題における次元の呪いに対処すること。
• 基底関数や潜在分布に関する事前知識に依存しない、厳密な性能保証を備えた手法の開発。
• 調整可能なパラメータεを用いて、近似の精度と計算複雑性の間の原理的トレードオフを実現すること。
• 既存の手法で時間枠Tとともに急激に増加する深くネストされた条件付き期待値の必要性を低減すること。
• 時間枠Tに対して多項式的で、次元に依存しない実行時間とサンプル複雑性を達成するため、新規な双対表現を用いること。

提案手法

• ネットワークフローのアナロジーにインspiredされた純双対定式化を導入し、最適値を再帰的に定義された無限和の形に変換する。
• 和の各項はネスティングのレベルに対応し、最初のk項はたんにkレベルの条件付き期待値を必要とする。
• アルゴリズムは級数をk項で切り捨て、誤差境界が1/kであることを保証し、精度と計算負荷の間の制御可能なトレードオフを可能にする。
• 元の確率過程のサンプルパスをシミュレートし、切り捨てられた和を効率的に計算する確率的アルゴリズムを構築する。
• このアプローチは完全にデータ駆動的であり、確率過程のシミュレーションが可能であれば十分で、分布の知識や基底関数の必要がない。
• パラメータεを用いて性能を制御し、計算複雑性とサンプル複雑性を時間枠Tに対して多項式的かつ問題の次元にほとんど依存しない形に保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底関数を必要とせず、高次元の最適停止問題において厳密な誤差境界を提供する双対ベースの手法を開発可能か？
• RQ2 各項が制御可能なネスティングレベルのみを要するような和として最適値を表現可能か？これによりスケーラブルな計算が可能か？
• RQ3 高次元設定において、近似の精度と計算複雑性のトレードオフを形式的かつ制御可能に定式化できるか？
• RQ4 時間枠Tに対して多項式的複雑性を達成しながら、次元に依存しない実行時間を実現できるか？
• RQ5 サンプルパスのシミュレーションにのみ依存するデータ駆動型アプローチの理論的基盤は何か？

主な発見

• 最適値は、再帰的に定義された無限和の形で表現可能であり、各項が再帰的定義された下限の期待値として表される。これにより、構造的な近似が可能になる。
• 級数をk項で切り捨てた場合、近似誤差は1/kで抑えられ、精度と計算負荷の明確なトレードオフが得られる。
• この手法は、元の確率過程のサンプルパスのシミュレーションのみを必要とし、分布の知識や基底関数の必要がない。
• 計算複雑性とサンプル複雑性は、時間枠Tに対して多項式的であり、任意の固定されたεに対して問題の次元にほとんど依存しない。
• 多くの既存のADPや双対ベース手法に見られる、任意の基底関数選択に依存しない、厳密な性能保証を達成する。
• 新規な双対表現により、次元の呪いを克服し、高次元設定においてスケーラブルでデータ駆動型の価格設定と最適停止を実現する。