[論文レビュー] Beating the Harmonic lower bound for online bin packing

Sandy Heydrich, Rob van Stee|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Optimization and Packing Problems参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Super Harmonicフレームワーク内で長年の下界である1.58333を超えることのできなかった1.5813の漸近的競争比を達成する、新しいオンラインビンパッキングアルゴリズムを提示する。この手法は、中程度のサイズのアイテムに対して正確なサイズ依存の決定を導入し、線形計画法におけるマーク付きアイテム制約を用いて最適解の下界を厳しく制約することで、従来手法を上回る性能を実現する。

ABSTRACT

In the online bin packing problem, items of sizes in (0,1] arrive online to be packed into bins of size 1. The goal is to minimize the number of used bins. In this paper, we present an online bin packing algorithm with asymptotic competitive ratio of 1.5813. This is the first improvement in fifteen years and reduces the gap to the lower bound by 15%. Within the well-known SuperHarmonic framework, no competitive ratio below 1.58333 can be achieved. We make two crucial changes to that framework. First, some of our algorithm's decisions depend on exact sizes of items, instead of only their types. In particular, for each item with size in (1/3,1/2], we use its exact size to determine if it can be packed together with an item of size greater than 1/2. Second, we add constraints to the linear programs considered by Seiden, in order to better lower bound the optimal solution. These extra constraints are based on marks that we give to items based on how they are packed by our algorithm. We show that for each input, a single weighting function can be constructed to upper bound the competitive ratio on it. We use this idea to simplify the analysis of SuperHarmonic, and show that the algorithm Harmonic++ is in fact 1.58880-competitive (Seiden proved 1.58889), and that 1.5884 can be achieved within the SuperHarmonic framework. Finally, we give a lower bound of 1.5762 for our new framework.

研究の動機と目的

• オンラインビンパッキングにおけるSuper Harmonicフレームワーク内で、1.58333の競争比の壁を打ち破ること。
• 既知のハーモニック下界を超えて、オンラインビンパッキングアルゴリズムの漸近的競争比を改善すること。
• 正確なアイテムサイズとアイテムのマークを用いたフレームワークを構築し、最適解の下界を強化すること。
• Harmonic++のような既存のSuper Harmonicアルゴリズムの解析を単純化すること。
• 提案フレームワークにおける新しい下界1.5762を確立すること。

提案手法

• Super Harmonicフレームワークにおけるタイプベースの決定を超えて、(1/3, 1/2]サイズ範囲のアイテムに対して正確なサイズ依存のパッキング意思決定を導入する。
• パッキング行動に基づいてアイテムにマークを付与し、最適解の下界を厳しく制約する線形計画法の制約を強化する。
• 1つの入力に対して1つの重み関数を用いて競争比の上界を求める。これにより、多様な入力パターンにおける解析が簡素化される。
• アイテムのマークと正確なサイズに基づく制約を追加することで、Super Harmonicフレームワークを変更し、最適ビン使用量の下界を向上させる。
• 赤色および青色の異なるタイプのアイテムを有するビンパターンを焦点に、複数の入力パターンにおけるケース解析を実施し、競争比を導出する。
• マーク付き制約を用いた線形計画法を適用し、最適解がアルゴリズムの使用量に対して必要とする最小空間を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Super Harmonicフレームワークを拡張することで、オンラインビンパッキングにおける1.58333の競争比の壁を打ち破ることは可能か？
• RQ2 正確なアイテムサイズは、タイプベースのパッキングを越えて、どの程度競争比を改善できるか？
• RQ3 アイテムのマークと線形計画法における追加制約は、最適解の下界をより厳しく制約できるか？
• RQ4 統一された重み関数を用いることで、既存のSuper Harmonicアルゴリズムの解析を簡素化できるか？
• RQ5 正確なサイズとマークに基づく意思決定を用いた新しいフレームワーク下で、達成可能な最良の競争比は何か？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、漸近的競争比1.5813を達成し、理論的下界へのギャップを15%削減した。
• 従来、Super Harmonicフレームワーク内で到達不可能とされていた1.58333の壁を、本アルゴリズムが破った。
• 解析により、Harmonic++は1.58880-competitiveであることが示され、Seidenの境界1.58889を上回る。
• 洗練された制約を用いることで、元のSuper Harmonicフレームワーク内でも1.5884の競争比が達成可能である。
• 新しいフレームワークにより、下界1.5762が確立され、特定のパrameter設定（red₁=0, red₂=0.1800, red₃=0.1276, red₄=0.1428）ではタイトであることが判明した。
• redfit₄=3のケースでは、下界が100/63 ≈ 1.5873に達し、フレームワークの多様な設定にわたる頑健性が確認された。