[論文レビュー] Behavior of canonical divisors under purely inseparable base changes

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正の特性における正規多様体と純無理的基底変換の間の重要な関係を確立する。$k$ を非完備体とする正則多様体 $X$ に対して、$X \times_k k^{p^{-\flat}}$ の還元基底変換の正規化 $Y$ 上の canonical divisor $K_Y$ は、ある効果的 divisor $C$ を用いて $K_Y + C = f^*K_X$ を満たす。この結果により、非完備体上での双有理幾何学への新たな応用が可能となり、$K_X$-自明なファイブレーションの非正規性、Mori ファイブレーション空間の一般ファイバーの有理的チェーン接続性、および表面と3次元多様体に対する弱化された錐定理が得られる。

ABSTRACT

Let $k$ be an imperfect field. Let $X$ be a regular variety over $k$ and set $Y$ to be the normalization of $(X imes_k k^{1/p^{\infty}})_{ m red}$. In this paper, we show that $K_Y+C=f^*K_X$ for some effective divisor $C$ on $Y$. We obtain the following three applications. First, we show that a $K_X$-trivial fiber space with non-normal fibers is uniruled. Second, we prove that general fibers of Mori fiber spaces are rationally chain connected. Third, we obtain a weakening of the cone theorem for surfaces and threefolds defined over an imperfect field.

研究の動機と目的

• 正の特性において、特に基底体が非完備である場合に、canonical divisor が純無理的基底変換の下でどのように振る舞うかを理解すること。
• 正規多様体の基底変換が一般には正規的でも還元的でもないという課題に対処するため、還元基底変換の正規化を研究すること。
• ある効果的 divisor $C$ を用いて canonical divisor の関係 $K_Y + C = f^*K_X$ を確立することにより、非完備体上での幾何学的問題を完備体または代数閉体上への還元を可能にする。
• この結果を応用して、非正規ファイバーをもつ $K_X$-自明なファイブレーションの uniruledness、Mori ファイブレーション空間の一般ファイバーの有理的チェーン接続性、および表面と3次元多様体に対する弱化された錐定理を証明すること。

提案手法

• 体論的技法を用いて基底変換 $X \times_k k^{p^{-\flat}}$ を分析し、特に $k$ が関数体 $K(X)$ において純無理的閉である場合に注目する。
• 補題 3.3 を適用して、有限な純無理的拡大 $k' / k$ に対して、$K(X) \bigotimes_k k'$ が体のまま残ることを示し、基底変換の既約性を保証する。
• 還元されたスキーム $(X \times_k k^{p^{-\flat}})_{\text{red}}$ の正規化 $Y$ を構成し、写像 $f: Y \to X$ を定義する。
• スキーム $Y$ 上の双対化層 $ ilde{\theta}_{Y/k^{p^{-\flat}}}$ が、正則部分スキーム上で $f^*\tilde{\theta}_{X/k} \bigotimes \tilde{\theta}_{Y/k^{p^{-\flat}}}(C) \big|_{Y_{\text{reg}}}$ が $f^*\tilde{\theta}_{X/k}$ の制限と同型であることを証明する。
• 得られた divisorial 関係を用いて、特にファイブレーションや Mori ファイブレーション空間に対して、基底変換とガロア理論を応用して幾何的帰結を導出する。
• 主定理を応用して、Néron-Severi 錐の構造とファイバー幾何学の分析を通じて、uniruledness、有理的チェーン接続性、および弱化された錐定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底体が非完備である場合に、正の特性において canonical divisor が純無理的基底変換の下でどのように振る舞うか。
• RQ2 還元基底変換の正規化の canonical divisor が、元の canonical divisor の引き戻しと線形同値となる条件は何か。
• RQ3 canonical divisor 関係を用いて、正の特性における uniruledness や有理的チェーン接続性などの幾何的性質をどのように導出できるか。
• RQ4 この divisorial 関係を用いて、非完備体上での表面および3次元多様体に対する錐定理をどの程度弱めることができるか。

主な発見

• 主結果として、$Y$（$(X \times_k k^{p^{-\flat}})_{\text{red}}$ の正規化）上で、ある効果的 divisor $C$ を用いて $K_Y + C = f^*K_X$ が成り立つことが示された。$C = 0$ となるのは、$X$ が $k$ 上で幾何的正規であるときかつそのときに限る。
• 代数閉体の正の特性において、非正規な一般ファイバーをもつ $K_X$-自明なファイブレーション $X$ は uniruled である。
• 任意の正の特性の体上での Mori ファイブレーション空間の一般ファイバーは、全空間が $\bQ$-因子的であり、$-K_X$ が $\bpi$-ample で、$\rho(X/S) = 1$ である限り、有理的チェーン接続する。
• 非完備体上での $\bQ$-因子的正規表面 $X$ に対して、曲線の錐は $\bar{NE}(X) = \bar{NE}(X)_{K_X + \triangle + A \neq 0} + \text{有限生成の有理的射線}$ を満たし、弱化された錐定理が証明された。
• $\bQ$-因子的3次元多様体 $X$ で $K_X + \triangle$ が nef でない場合、曲線の錐は $\bar{NE}(X) = \bar{NE}(X)_{K_X + \triangle + A \neq 0} + \text{有限個の有理的射線}$ に分解され、再び弱化された錐定理が得られた。
• この結果により、任意の体上での $\bQ$-因子的ファノ多様体上では、数的自明なカーティエ除集合は torsion であることが示された。すなわち、標準仮定の下で、ある $n > 0$ に対して $\bO_X(nD) \to \bO_X$ が成り立つ。