[論文レビュー] Behavior of different numerical schemes for population genetic drift problems

Minxin Chen, Chun Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2014

Arctic and Antarctic ice dynamics参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、退化した対流優勢な遺伝的ドリフト方程式を解くための3つの有限体積スキーム—上流差分法と2つの中央差分法—を分析する。解析により、唯一、フラックス構造を保存する中央スキームのみが、人工的数値粘性を避けて、全確率と期待値の両方を正しく保存することが示された。一方、上流差分法および他の中央スキームは、誤った定常状態を引き起こす不自然な粘性を導入する。

ABSTRACT

In this paper, we focus on numerical methods for the genetic drift problems, which is governed by a degenerated convection-dominated parabolic equation. Due to the degeneration and convection, Dirac singularities will always be developed at boundary points as time evolves. In order to find a \emph{complete solution} which should keep the conservation of total probability and expectation, three different schemes based on finite volume methods are used to solve the equation numerically: one is a upwind scheme, the other two are different central schemes. We observed that all the methods are stable and can keep the total probability, but have totally different long-time behaviors concerning with the conservation of expectation. We prove that any extra infinitesimal diffusion leads to a same artificial steady state. So upwind scheme does not work due to its intrinsic numerical viscosity. We find one of the central schemes introduces a numerical viscosity term too, which is beyond the common understanding in the convection-diffusion community. Careful analysis is presented to prove that the other central scheme does work. Our study shows that the numerical methods should be carefully chosen and any method with intrinsic numerical viscosity must be avoided.

研究の動機と目的

• 退化した対流優勢な放物型偏微分方程式に従う遺伝的ドリフトシミュレーションにおいて、全確率と期待値の両方を正しく保存する数値スキームを同定すること。
• さまざまな有限体積スキームの長期的挙動、特に数値粘性によって誘発される誤った定常状態について分析すること。
• 任意の追加の無限小拡散が、同じ誤った定常状態に至ることを証明し、粘性のない手法の必要性を強調すること。
• 中央スキームが予期しない数値粘性を導入する可能性があること、対流拡散問題の文脈における一般的な理解に挑戦すること。
• 境界におけるデルタ関数特異点を含む完全な解構造を保持するための、特定のフラックスに基づく中央スキームが唯一有効であることを確立すること。

提案手法

• 上流差分法1つおよび中央差分法2つの合計3つの有限体積スキームを用い、遺伝的ドリフト方程式のフラックスを離散化する。
• 有限体積形式を採用し、フラックスを対流項と拡散項に分割する（スキーム1および2）か、全体として扱う（スキーム3）。
• 離散的最大原理およびエネルギー推定を用いて、すべてのスキームに対して無条件安定性を証明する。
• 離散 Hölder 不等式およびPoincaré型不等式を用いて、解の減衰に関する解析的境界を導出することで、長期挙動を研究する。
• 任意の追加の無限小拡散が、スキームに依存せず同じ誤った定常状態に至ることを証明する。
• 数値粘性項の構造を分析し、スキーム2が2次数値粘性を導入するのに対し、スキーム1は1次数値粘性を導入することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの数値スキームが、遺伝的ドリフト方程式の解において、全確率と期待値の両方を正しく保存できるか？
• RQ2 上流差分法および特定の中央スキームは安定であるにもかかわらず、なぜ誤った定常状態を生じるのか？
• RQ3 数値粘性、特に中央スキームに起因する数値粘性が、退化した対流優勢な偏微分方程式の解の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 中央差分スキームは、どのような条件下で数値粘性を回避できるか？
• RQ5 デルタ関数特異点を含む問題において、正しい長期的挙動を保証するためのフラックス離散化の構造的性質は何か？

主な発見

• すべての3つのスキームは無条件安定であり、全確率を保存するが、期待値を正しく時間的に保存するのはフラックスに基づく中央スキーム（スキーム3）に限る。
• 上流差分法は1次数値粘性を導入し、安定であるにもかかわらず、誤った人工的定常状態を生じる。
• 中央スキームの1つ（スキーム2）は、一般に中央スキームは粘性なしと信じられているが、2次数値粘性項を導入する。
• 任意の追加の無限小拡散、その大きさにかかわらず、同じ人工的定常状態に至る。これは、このような拡散が完全な解と本質的に不適合であることを証明する。
• フラックス全体を中央差分で取り扱うスキーム3は、不自然な粘性を回避し、解析解のデルタ関数特異点と一致する正しい長期的挙動を示す。
• 本研究は、標準的な対流拡散数値法が、この問題に対して本質的に数値粘性を有するため失敗することを明らかにし、適切な手法選択の重要性を強調する。