[論文レビュー] Behavior of solutions to the 1D focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation with spatially correlated noise

Annie Millet, Alex D Rodriguez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、空間的に相関するウィener過程によって駆動される乗法的ノイズを伴う1次元集中型確率的非線形シュレーディンガー方程式を検討する。ストラトノビッチ積分を用いることで、質量は保存されるがエネルギーは確率的に変化する。数値シミュレーションの結果、空間的に相関するノイズは、爆発のプロファイルやレートに影響を及ぼさず、爆発中心の位置を主にシフトさせる。また、臨界および超臨界領域では爆発確率が低下し、特に強いまたは局在的なノイズではその効果が顕著になる。

ABSTRACT

We study the focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation in one spatial dimension with multiplicative noise, driven by a Wiener process white in time and colored in space, in the $L^2$-critical and supercritical cases. The mass ($L^2$-norm) is conserved due to the multiplicative noise defined via the Stratonovich integral, the energy (Hamiltonian) is not preserved. We first investigate how the energy is affected by various spatially correlated random perturbations. We then study the influence of the noise on the global dynamics measuring the probability of blow-up versus scattering behavior depending on various parameters of correlation kernels. Finally, we study the effect of the spatially correlated noise on the blow-up behavior, and conclude that such random perturbations do not influence the blow-up dynamics, except for shifting of the blow-up center location. This is similar to what we observed in [32] for a space-time white driving noise.

研究の動機と目的

• 空間的に相関する乗法的ノイズが1次元集中型確率的NLSのエネルギーおよびグローバルダイナミクスに与える影響を分析すること。
• ノイズ相関構造が有限時間爆発の確率と散乱行動のどちらに影響を与えるかを特定すること。
• 空間的に相関するノイズが、決定論的ケースと比較して爆発プロファイル、レート、または中心位置を変化させるかを調査すること。
• 時空白色ノイズに関する先行研究と比較し、L2-臨界および超臨界領域における確率的NLSの理解を拡張すること。

提案手法

• 確率的NLS方程式におけるL2ノルム（質量）の保存を保証するため、ストラトノビッチ積分を用いる。
• トレースクラスの共分散（正規または多項式減衰）を持つQウィener過程、およびリエシまたは指数型カーネルを有する均一なウィener過程を用いてノイズをモデル化する。
• 離散的質量とエネルギーの時間発展を追跡するために、質量保存型数値スキームを採用する。
• 爆発確率および爆発中心位置の分布を推定するために、大規模な数値シミュレーション（1000～3000回の試行）を実施する。
• 決定論的グランドステートと比較して、プロファイル収束およびレート追跡を通じて爆発ダイナミクスを分析する。
• 異なるノイズ相関タイプおよびパラメータにおけるエネルギーの上限および漸近的エネルギー水準を計算・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に相関するノイズは、1次元確率的NLS方程式におけるエネルギーの時間的変化にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ノイズ相関構造（例：リエシカーネル対指数減衰）は、有限時間爆発の確率にどのように影響を与えるか？
• RQ3 空間的に相関するノイズは、決定論的ケースと比較して爆発プロファイルまたはレートを変化させるか？
• RQ4 異なるノイズ実現における爆発中心位置の分布はどのようになるか？また、その分散はノイズパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 空間的に相関するノイズは、決定論的設定では常に散乱する初期データに対し、爆発を誘発することができるか？

主な発見

• エネルギーは初期に増加し、時空白色ノイズ下で観察されたものに近い水平なレベルに漸近的に収束する。これは、安定な長期的エネルギー状態を示している。
• ノイズ強度が大きく、原点付近に強く局在するほど、L2-臨界および超臨界ケースの両方で爆発確率が低下する。特に臨界ケースではその効果が顕著である。
• 空間的に相関するノイズは、エネルギーおよび質量の閾値を摂動させることで、決定論的にはグローバルに存在する解を爆発に導くことがある。特に超臨界領域で顕著である。
• 爆発プロファイルおよびレートは、決定論的ケースと統計的に同一であり、唯一の変化は爆発中心位置の確率的シフトである。
• 爆発中心位置は正規分布に従い、その分散はノイズ強度βに応じて増加する。特に例3および4（リエシおよび指数型カーネル）で顕著である。
• 平均的な爆発中心位置は原点近くに保たれるが、βの増加に伴い分散が顕著に増加し、強いノイズ下では爆発位置の不確実性が増加することが示唆される。