[論文レビュー] Behavioral Metrics via Functor Lifting

Paolo Baldan, Filippo Bonchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Artificial Intelligence in Games参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、擬距離空間の圏における関手の持ち上げを用いて、行動的擬距離を定義する代数的枠組みを導入する。KantorovichおよびWassersteinの2つの標準的持ち上げを提案し、それらが度々一致する重要なケースを示し、行動的距離を計算するための不動点法を提供する。距離が0であることは、弱い条件下で行動的同値性に一致する。

ABSTRACT

We study behavioral metrics in an abstract coalgebraic setting. Given a coalgebra alpha: X -> FX in Set, where the functor F specifies the branching type, we define a framework for deriving pseudometrics on X which measure the behavioral distance of states. A first crucial step is the lifting of the functor F on Set to a functor in the category PMet of pseudometric spaces. We present two different approaches which can be viewed as generalizations of the Kantorovich and Wasserstein pseudometrics for probability measures. We show that the pseudometrics provided by the two approaches coincide on several natural examples, but in general they differ. Then a final coalgebra for F in Set can be endowed with a behavioral distance resulting as the smallest solution of a fixed-point equation, yielding the final coalgebra in PMet. The same technique, applied to an arbitrary coalgebra alpha: X -> FX in Set, provides the behavioral distance on X. Under some constraints we can prove that two states are at distance 0 if and only if they are behaviorally equivalent.

研究の動機と目的

• 定量的システムにおける行動的擬距離を一般的かつ標準的な枠組みで定義すること。
• KantorovichおよびWassersteinの2つの自然な構成を用いて、SetからPMet（擬距離空間）への関手の持ち上げを実現すること。
• 行動的同値性（距離0）が弱い制約のもとで正確に同一の行動に対応することを保証すること。
• 任意のコアルゲブラにおいて行動的距離を計算する汎用的で不動点に基づくアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• KantorovichおよびWassersteinの構成を用いて、関手 F: Set → Set を F: PMet → PMet に持ち上げ、輸送距離を一般化する。
• Kantorovichの持ち上げを、非拡大写像上の価格関数の差の上界として定義する。
• Wassersteinの持ち上げを、状態のカップリング（共同分布）上の総輸送コストの下界として定義する。
• コアルゲブラ α: X → FX における擬距離 e_i の超限鎖を、ゼロの擬距離から出発して構築する。
• 方程式 e = eF ◦ (α × α) の最小不動点を用いて、行動的擬距離を計算する。
• 最終コアルゲブラが、不動点距離を備えており、距離が0であることは行動的同値性を正確に捉えていることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の遷移系に対して、代数的枠組みを用いて行動的距離を体系的に導出可能か？
• RQ2 関手のKantorovichおよびWassersteinの持ち上げが一般に同じ行動的擬距離をもたらすか？
• RQ3 行動的擬距離が、状態の行動が同一である場合に限り同値と特定する条件は何か？
• RQ4 定量的システムにおける行動的距離を計算する汎用的で不動点に基づくアルゴリズムを導出可能か？

主な発見

• 確率分布、有限部分集合、積双関手といった自然な例において、関手のKantorovichおよびWassersteinの持ち上げは一致する。
• 本稿で提示された反例により、2つの持ち上げが一般には一致しないことが示された。
• 方程式 e = eF ◦ (α × α) の不動点による計算により得られる行動的擬距離は最小解であり、真の行動的距離を捉えている。
• 最終コアルゲブラにおいて、不動点距離 dθ は dθ(x, y) = 0 がかつて x = y であるときに限り成り立つことを示し、距離が0であることは行動的同値性を保証する。
• 本手法は行動的同値性を保存する：関手が等長写像と距離を保存するという仮定のもとで、2つの状態が距離0にあれば、かつそのときに限り行動的同値である。
• 超限反復による擬距離の構成は、θ ステップ以内に収束する。ここで θ は最終鎖の収束長である。