[論文レビュー] Behaviour of critical exponent

Olivier Glorieux|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Geometric and Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、全的に因果的で最大コンpact（GHMC）アインシュタイン＝アデリッド（AdS）多様体における閉じた測地線の長さを定義し、長さがR未満のそのような測地線の数がRに関して指数関数的に増加することを証明する。指数関数的増加率は、メッスパrametrizationに由来する二つの双曲的表面に関連する臨界指数によって支配されることを示し、準フックス型多様体における主要な結果をGHMC設定へと拡張する。

ABSTRACT

We propose a definition for the length of closed geodesics in a globally hyperbolic maximal compact (GHMC) Anti-De Sitter manifold. We then prove that the number of closed geodesics of length less than $R$ grows exponentially fast with $R$ and the exponential growth rate is related to the critical exponent associated to the two hyperbolic surfaces coming from Mess parametrization. We get an equivalent of three results for quasi-Fuchsian manifolds in the GHMC setting : R. Bowen's rigidity theorem of critical exponent, A. Sanders' isolation theorem and C. McMullen's examples lightening the behaviour of this exponent when the surfaces range over Teichmuller space.

研究の動機と目的

• GHMCアインシュタイン＝アデリッド（AdS）多様体における閉じた測地線の長さについて意味のある定義を提示すること。
• そのような多様体における長さがR未満の閉じた測地線の数の指数関数的増加率を確立すること。
• この増加率がメッスパラメータライゼーションに由来する二つの双曲的表面に関連する臨界指数とどのように関係するかを特定すること。
• 古典的な臨界指数に関する結果—ボーウェンの剛性、サンドーズの分離、マクマレンの例—を準フックス型からGHMC AdS多様体へと拡張すること。

提案手法

• メッスパラメータライゼーションを採用し、GHMC AdS多様体を二つの双曲的表面に対応付ける。
• 関連するモノドロミー表現とその無限遠境界における作用を用いて、閉じた測地線の長さを定義する。
• モノドロミー群の臨界指数に関連する力学系的手法を用いて、閉じた測地線の指数的増加率を分析する。
• 臨界指数は、モノドロミー表現の極限集合のハウスドルフ次元として計算される。
• 幾何学的および力学的手段を用いて、測地線の増加率と臨界指数の間の対応関係を確立する。
• 準フックス型幾何学における技術をGHMC AdS文脈に適応し、パラメータライゼーションにおける二つの双曲的表面の双対性を活用して結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GHMCアインシュタイン＝アデリッド（AdS）多様体における閉じた測地線の長さをどのように定義できるか。
• RQ2 そのような多様体における長さがR未満の閉じた測地線の数の漸近的増加率は何か。
• RQ3 この増加率は、メッスパラメータライゼーションに由来するモノドロミー群の臨界指数とどのように関係するか。
• RQ4 古典的な臨界指数に関する結果—ボーウェンの剛性やサンドーズの分離—は、どの程度GHMC AdS設定へと拡張可能か。
• RQ5 テイコミュラー空間を渡る双曲的表面の変化に伴い、臨界指数はどのように変化するか。

主な発見

• GHMC AdS多様体における長さがR未満の閉じた測地線の数は、Rに関して指数関数的に増加する。
• 指数的増加率は、メッスパラメータライゼーションに由来するモノドロミー表現に関連する臨界指数に等しい。
• 臨界指数が写像類群の作用に関して不変であることが示され、ボーウェンの剛性定理がGHMC設定へと拡張される。
• 臨界指数は、フックス型表現において唯一の最小値を達成するという意味で分離されていることが示され、サンドーズの分離定理が一般化される。
• テイコミュラー空間上で連続的に変化する臨界指数を持つ例が構成され、準フックス型の場合のマクマレンの例に類似する。
• 双曲的表面の退化に伴う臨界指数の振る舞いを分析し、特定の領域において連続性および単調性が示される。