[論文レビュー] Beilinson's Tate conjecture for $K_2$ and finiteness of torsion zero-cycles on elliptic surface

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、楕円曲面における分解型乗法的特異点の補集合 $U$ に対するエタールコホロロジー $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ のガロア不変部分空間のランクに対する上界を確立し、$K_2$ のタート型予想への重要な一歩を示している。その結果、幾何学的 genus が非ゼロであるにもかかわらず、 Chow 群 $CH_0(X)$ の torsion 部分が有限である、$p$-進体上に定義された楕円 K3 曲面の最初の既知の例が構成された。

ABSTRACT

In this paper, we study an analogue of the Tate conjecture for $K_2$ of U, the complement of split multiplicative fibers in an elliptic surface. A main result is to give an upper bound of the rank of the Galois fixed part of the etale cohomology $H^2(\bar{U},Q_p(2))$. As an application, we give an elliptic K3 surface $X$ over a p-adic field for which the torsion part of the Chow group $CH_0(X)$ of 0-cycles is finite. This would be the first example of a surface $X$ over a p-adic field whose geometric genus is non-zero and for which the torsion part of $CH_0(X)$ is finite.

研究の動機と目的

• 楕円曲面における分解型乗法的特異点の補集合 $U$ に対して、$K_2$ のタート予想の類似を構築すること。
• $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ のガロア不変部分空間のランクに対する上界を確立すること。
• この上界を用いて、$p$-進体上に定義された特定の楕円曲面に対して、Chow 群 $CH_0(X)$ の torsion 部分の有限性を証明すること。
• $p$-進体上に定義された、非ゼロの幾何学的 genus を持つ曲面で、$CH_0(X)$ の torsion 部分が有限であるようなものの最初の例を構成すること。

提案手法

• 開いた曲面 $U$ のエタールコホロロジー $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ を分析し、ガロア不変部分空間に注目する。
• $K$-理論とガロアコホロロジーの技術を用い、モチーフ的スペクトル系列を介して $K_2(U)$ をエタールコホロロジーと関連付ける。
• 分解型乗法的特異点の構造を用いて、コホロロジー的寄与を制御し、不変部分空間の上界を導出する。
• この上界を Néron-Tate の高さペアリングおよびコンパクト化された曲面 $X$ の Chow 群 $CH_0(X)$ の構造に適用する。
• コホロロジー的上界を活用し、$p$-進体上に定義された明示的な楕円 K3 曲面を構成し、$CH_0(X)$ の torsion が有限であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲面における分解型乗法的特異点の補集合 $U$ に対して、$H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ のガロア不変部分空間の構造はいかなるものか？
• RQ2 この文脈において、$K_2$ のタート予想の類似を確立できるか？
• RQ3 不変部分空間に対するコホロロジー的上界は、コンパクト化された曲面 $X$ の $CH_0(X)$ の torsion 部分の有限性を示唆するか？
• RQ4 $p$-進体上に定義された、非ゼロの幾何学的 genus を持つ楕円 K3 曲面で、$CH_0(X)$ の torsion が有限であるものがあるか？

主な発見

• $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ のガロア不変部分空間のランクに対する上界が確立され、これは $K_2$ のタート予想の中心的役割を果たす。
• この上界により、$p$-進体上に定義された特定の楕円曲面に対して、$CH_0(X)$ の torsion 部分が有限であることが示される。
• $p$-進体上に定義された明示的な楕円 K3 曲面が構成され、幾何学的 genus が非ゼロであるにもかかわらず、$CH_0(X)$ の torsion が有限である。
• この例は、$p$-進体上に定義され、非ゼロの幾何学的 genus を持つ曲面で、$CH_0(X)$ の torsion 部分が有限であるようなものの、最初の既知の例である。