[論文レビュー] Being Fat and Friendly is Not Enough

Sariel Har-Peled|ArXiv.org|Aug 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、最小角が約45°に近い、太めで同程度のサイズの三角形を用いて平面上の点を被覆する問題が、P=NPでない限り、$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを有しないことを証明している。この結果により、幾何的集合被覆問題としてのAPX困難性が確立され、3次元空間における三角形の独立集合問題へも拡張可能であり、標準的な計算複雑性仮定のもとでは、両問題に対してPTASが存在しないことが示された。

ABSTRACT

We show that there is no $(1+\eps)$-approximation algorithm for the problem of covering points in the plane by minimum number of fat triangles of similar size (with the minimum angle of the triangles being close to 45 degrees). Here, the available triangles are prespecified in advance. Since a constant factor approximation algorithm is known for this problem \cite{cv-iaags-07}, this settles the approximability of this problem. We also investigate some related problems, including cover by friendly fat shapes, and independent set of triangles in three dimensions.

研究の動機と目的

• 平面上の太く、凸的で同程度のサイズの三角形を用いた幾何的集合被覆問題の近似可能性を解明すること。
• 太さ、凸性、有界な被覆複雑度という制約のもとでも、この問題に対して多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在しないことを示すこと。
• 3次元空間における三角形の独立集合問題への困難性結果の拡張。
• 「親しみやすい」幾何的集合被覆インスタンス（形状が太く、凸的で、被覆の和の複雑度が低い）ですら、P=NPでない限り、任意の定数因子内に近似不能であることを示すこと。

提案手法

• MaxSNP困難な最小3集合被覆問題から、太く、凸的で同程度のサイズの領域を有する幾何的集合被覆インスタンスへの還元。
• 中心の円板と3点の凸包として領域を構築し、互いの交差が（最大6点まで）有界になるように保証。
• 2次元の円を3次元空間における平面に写像する写像 $f(x,y) = (x,y,x^2+y^2)$ を用い、被覆問題の同値性を保持。
• モーメント曲線を用いて3正則グラフを3次元空間に埋め込み、ボロノイ図を用いて、グラフの辺に対応する交差を持つ三角形を構築。
• モーメント曲線上のボロノイ図の隣接性の性質を活用し、三角形の交差がグラフの辺と正確に一致することを保証。
• グラフにおける独立集合と3次元空間における交差のない三角形集合との間で一対一対応を確立し、APX困難性を転送。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の点を、最小個数の太く、凸的で同程度のサイズの三角形で被覆する問題に対して、$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムが存在しうるか？
• RQ2 太く、親しみやすい形状（凸的、有界な被覆複雑度、低交差）を有する幾何的集合被覆問題は、多項式時間内に定数因子内に近似可能か？
• RQ3 3次元空間における三角形の独立集合問題に対して、標準的な計算複雑性仮定のもとでPTASが存在するか？
• RQ4 任意のグラフが $\mathbb{R}^3$ 内の凸体の交差グラフとして実現可能か？ そして、これは幾何的独立集合問題の困難性とどのように関係するか？

主な発見

• P=NPでない限り、最小角が45°に近い太い、凸的で同程度のサイズの三角形を用いた平面上の点被覆問題に対してPTASは存在しない。
• 被覆の和の複雑度が定数、交差が有界であるという強い幾何的制約のもとでも、この幾何的集合被覆問題はAPX困難のままである。
• 3次元空間における三角形の独立集合問題はAPX困難であり、P=NPでない限りPTASは存在しない。
• 三角形が単一の直角二等辺三角形の「ノイズあり」な回転・平行移動コピーであっても、困難性は維持される。
• 驚くべき相違が示された：3次元空間における実体の円盤や半空間による被覆問題はPTASを有するが、「殻状」のバージョン（例：円や三角形）はそうではない。
• 構成により、最大次数3の任意のグラフが $\mathbb{R}^3$ 内の凸体の交差グラフとして実現可能であることが示され、困難性結果の一般性が裏付けられた。