[論文レビュー] Belief as Willingness to Bet

Jan van Eijck, Bryan Renne|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、知識を確率的確信（K）として、信念を1/2の閾値で賭けを厭わない意思としてモデル化するモーダル論理枠組みKB.5を提案する。スコットの定理を用いて完全性を確立する。知識的近傍意味論を導入し、確率的構造とモーダル構造を結びつける。これは定性的確率論理の基礎をなす。

ABSTRACT

We investigate modal logics of high probability having two unary modal operators: an operator $K$ expressing probabilistic certainty and an operator $B$ expressing probability exceeding a fixed rational threshold $c\geq\frac 12$. Identifying knowledge with the former and belief with the latter, we may think of $c$ as the agent's betting threshold, which leads to the motto "belief is willingness to bet." The logic $\mathsf{KB.5}$ for $c=\frac 12$ has an $\mathsf{S5}$ $K$ modality along with a sub-normal $B$ modality that extends the minimal modal logic $\mathsf{EMND45}$ by way of four schemes relating $K$ and $B$, one of which is a complex scheme arising out of a theorem due to Scott. Lenzen was the first to use Scott's theorem to show that a version of this logic is sound and complete for the probability interpretation. We reformulate Lenzen's results and present them here in a modern and accessible form. In addition, we introduce a new epistemic neighborhood semantics that will be more familiar to modern modal logicians. Using Scott's theorem, we provide the Lenzen-derivative properties that must be imposed on finite epistemic neighborhood models so as to guarantee the existence of a probability measure respecting the neighborhood function in the appropriate way for threshold $c=\frac 12$. This yields a link between probabilistic and modal neighborhood semantics that we hope will be of use in future work on modal logics of qualitative probability. We leave open the question of which properties must be imposed on finite epistemic neighborhood models so as to guarantee existence of an appropriate probability measure for thresholds $c eq\frac 12$.

研究の動機と目的

• 信念を、確率が1/2を超えることとして形式化し、K（確信）とB（閾値信念）という演算子を備えたモーダル論理を用いて、賭けを厭わない意思としての信念を定義する。
• スコットの定理による確率実現に関する結果を用いて、レーツェンの完全性結果を現代的かつアクセス可能な形で再定式化する。
• 有限モデルにおける信念と知識をモデル化するための、新規で直感的なフレームワークとしての知識的近傍意味論を導入する。
• 有限の知識的近傍モデルが、閾値c = 1/2を尊重する確率測度を備えるための条件を同定する。
• これらの結果をc ≠ 1/2の閾値やマルチエージェント設定に拡張することを未解決のまま残し、定義可能性とモデル構築における主な技術的課題を強調する。

提案手法

• スコットの定理を用いて、有限集合Wの部分集合に対する定性的確率順序がどの条件下で確率測度によって実現可能かを同定する。
• この定理を応用し、KB.5論理におけるKとBのモダリティを結ぶ4つの公理を導出する。そのうち1つはスコットの結果に基づく複雑な公理スキームである。
• 知識的近傍モデルをKB.5の意味論として導入し、近傍が信念が成立する世界の集合を表すものとする。
• 有限近傍モデルに、特定の集合的演算についての閉包性などの条件を課すことで、c = 1/2における整合的な確率測度の存在を保証する。
• 閉包構成と定義可能性補題を用いて、有限の中間閾値近傍モデル上でのKB.5の完全性を証明する。
• セーゲルバーグの記法（例：(φi E ψi)i=1^m）を用いて、スコットの代数的条件をモーダル言語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、モーダル論理を用いて、合理的な閾値c = 1/2における賭けを厭わない意思としての信念を形式化できるか？
• RQ2 K（知識）とB（信念）の演算子を組み合わせた論理が、この閾値において完全性を保つために必要な最小限の公理は何か？
• RQ3 有限の知識的近傍モデルが、信念と知識のモダリティを実現する確率測度を備えるために満たすべき構造的条件は何か？
• RQ4 確率実現に関するスコットの定理は、モーダル論理と知識的近傍意味論とどのように関係するか？
• RQ5 c ≠ 1/2の閾値やマルチエージェント設定への完全性結果の拡張において、直面する課題は何か？

主な発見

• c = 1/2における論理KB.5は、スコットの条件を満たす有限の中間閾値近傍モデルのクラスに関して、健全かつ完全である。
• 本稿は、スコットの定理と近傍意味論を用いて、レーツェンの完全性証明を現代的かつアクセス可能な形で再定式化する。
• 信念と知識をモデル化するための、より直感的で現代のモーダル論理学者に馴染みやすい新規な知識的近傍意味論を導入する。
• 有限近傍モデルが、信念と知識の演算子を閾値c = 1/2で実現する確率測度を備えるために必要な十分かつ必要条件を同定する。
• 完全性証明は、定義可能性補題と閉包構成に依拠しており、論理式によってすべての関連集合が定義可能であることを保証する。
• マルチエージェント設定への拡張は、定義可能性と（sc）条件を複数のエージェントの存在下でも維持するという課題のため、未解決のまま残っている。