[論文レビュー] Belief functions induced by random fuzzy sets: A general framework for representing uncertain and fuzzy evidence

Thierry Denœux|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Multi-Criteria Decision Making参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、不確実性と曖昧性の両方を有する証拠を表現・統合する一般化された枠組み—認識的確率的ファジィ集合—を提案する。これはデムプスター＝シャーマー理論と可能性理論を統合するものであり、ファジィ集合によって誘導される信頼関数をモデル化することにより、可能性論的（可能性的）な推論とベイジアン（確率的）推論を一般化された積集合則によって一貫して統合可能である。

ABSTRACT

We revisit Zadeh's notion of "evidence of the second kind" and show that it provides the foundation for a general theory of epistemic random fuzzy sets, which generalizes both the Dempster-Shafer theory of belief functions and possibility theory. In this perspective, Dempster-Shafer theory deals with belief functions generated by random sets, while possibility theory deals with belief functions induced by fuzzy sets. The more general theory allows us to represent and combine evidence that is both uncertain and fuzzy. We demonstrate the application of this formalism to statistical inference, and show that it makes it possible to reconcile the possibilistic interpretation of likelihood with Bayesian inference.

研究の動機と目的

• 不確実で曖昧な証拠を扱うための共通の形式的枠組みにおいて、デムプスター＝シャーマー理論と可能性理論を統一すること。
• ランダムファジィ集合に基づく一般化を導入することにより、デムプスター則と可能性理論の不整合性を解消すること。
• 尤度の可能性的解釈とベイジアン更新を調和させる、統計的推論の原則的基盤を提供すること。
• クリプト集合やファジィ集合のみで表現するのではなく、認識的不確実性と曖昧性を同時に扱える証拠の表現を拡張すること。

提案手法

• 証拠を認識的ランダムファジィ集合としてモデル化し、空間 Ω 上の確率変数 X が、空間 Θ 上の変数 Y に対して条件付き可能性分布 Π(Y|X=x) を誘導する。
• モンテカルロ近似を用いて、ファジィ集合 Y_{x,u_k} からのランダムサンプルを用い、所属関数の最小値および最大値演算を用いて信頼関数および可能性関数を定義する。
• チョケット積分に基づく定義を用いて信頼関数および可能性関数を一般化し、ファジィ的およびランダム的証拠の統合を一般化する。
• 独立した証拠をランダムファジィ集合レベルで一般化された積集合則を用いて統合し、不確実性および曖昧性を保持する。
• 尤度関数をファジィ集合の所属関数として解釈することで、統計的証拠の一貫した可能性的表現を可能にする。
• 一般化された枠組みを用いて尤度と事前分布を統合すると、従来の尤度に基づく信頼関数における不整合を解消する一貫したベイジアン更新が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デムプスター＝シャーマー理論と可能性理論を、不確実で曖昧な証拠を扱うための単一の枠組みとして統合することは可能か？
• RQ2 尤度に基づく証拠とベイジアン事前分布の統合は、認識的不確実性と曖昧性の両方を保持する単一の形式的枠組み内で一貫してモデル化可能か？
• RQ3 ザデフが提唱した第二の種類の証拠の表現において、ランダムファジィ集合の役割は何か？
• RQ4 一般化された積集合則は、デムプスター則および可能性理論の共通結合演算子とどのように異なり、一般化されるか？
• RQ5 尤度関数をファジィ集合として解釈することで、従来の信頼関数に基づく統計的推論における不整合はどのように解消されるか？

主な発見

• x = 28 の場合、シミュレーションベースの信頼値および可能性値はそれぞれ Bel^{(S)} ≈ 0.143 および Pl^{(S)} ≈ 0.253 であり、チョケットベースの推定値は Bel^{(C)} ≈ 0.128 および Pl^{(C)} ≈ 0.236 である。
• 一般化された枠組みにより、ランダムファジィ集合レベルで作業することにより、クリプト集合やファジィ集合のみから導かれる信頼関数の統合において生じる不整合を回避できる。
• 尤度関数をファジィ集合として解釈することで、ベイジアン更新と整合する一貫した可能性的表現が可能となり、統計的証拠の表現が可能になる。
• 本枠組みにより、尤度主義的およびベイジアン的統計的推論の見解が、共通の認識的ランダムファジィ集合モデルに統合され調和する。
• 一般化された積集合則は、共通性および単調性を保持しており、不確実で曖昧な証拠を統合するのに適している。
• 本アプローチは、ランダム集合によるデムプスター＝シャーマー理論およびファジィ集合による可能性理論を一般化し、両者をランダムファジィ集合によって誘導される信頼関数の特別な場合として含む。