[論文レビュー] Bell polynomials in combinatorial Hopf algebras

Ammar Aboud, Jean-Paul Bultel+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、彩色付き集合分割を統一的枠組みとして導入することにより、部分的および完全なベル多項式と組合せ的ホップ代数の間の深い関係を確立する。彩色付き集合分割に基づくホップ代数の族を構成し、対称関数、語対称関数（WSym）、および分割のクasi対称関数（ΠQSym）の双対といった代数においてベル多項式が自然に定義できることを示し、木型およびジンビエル作用素といった代数的構造を通じて古典的恒等式を回復する。

ABSTRACT

Partial multivariate Bell polynomials have been defined by E.T. Bell in 1934. These polynomials have numerous applications in Combinatorics, Analysis, Algebra, Probabilities, etc. Many of the formulae on Bell polynomials involve combinatorial objects (set partitions, set partitions in lists, permutations, etc.). So it seems natural to investigate analogous formulae in some combinatorial Hopf algebras with bases indexed by these objects. The algebra of symmetric functions is the most famous example of a combinatorial Hopf algebra. In a first time, we show that most of the results on Bell polynomials can be written in terms of symmetric functions and transformations of alphabets. Then, we show that these results are clearer when stated in other Hopf algebras (this means that the combinatorial objects appear explicitly in the formulae). We investigate also the connexion with the Fa{à} di Bruno Hopf algebra and the Lagrange-B{ü}rmann formula.

研究の動機と目的

• 組合せ的ホップ代数の枠組みにおいて、集合分割などの組合せ的対象によって添え字づけられる基底を持つ場合に、古典的ベル多項式の恒等式を一般化すること。
• 彩色付き集合分割に基づき、非負整数の列によってパrameter化される新しい組合せ的ホップ代数の族を定義し、それらを研究すること。
• 語対称関数（WSym）の代数が、非可換設定におけるベル多項式の類似物を実現する上で中心的な役割を果たすことを確立すること。
• ラグランジュ逆転やスターリング数に関連する古典的恒等式を、ホップ代数内の代数的構造（例えば、木型およびジンビエル作用素）を通じて回復すること。
• 特に ΠQSym および自由代数 ℂ⟨A⟩ において、ジンビエルおよび木型構造を介してベル多項式と非可換類似物との間の関係を明らかにすること。

提案手法

• 集合分割の一般化として、各ブロックに列 a = (a_m) からの色が割り当てられる彩色付き集合分割を導入し、サイズ m のブロックに a_m 種類の色が利用可能であることを指定する。
• 彩色付き集合分割によって添え字づけられる基底を持つ、組合せ的ホップ代数の族 H_a を構成し、その積およびコプロダクトを組合せ的構造と整合させる。
• 標準化写像および母関数を用いて、WSym、ΠQSym = WSym*、および ℂ⟨A⟩ の代数において、完全および部分的ベル多項式の類似物を定義する。
• ΠQSym 上のジンビエル代数構造（二つの非結合的積 ≺ および ≻ が特定の公理を満たすもの）を用い、ベル型多項式の母関数を表現する。
• 代数上の上三角行列を用いたジンビエル積と組み合わせることで、ΠQSym における部分的ベル多項式の母関数に対して準行列式型の公式を導出する。
• 基底元の行列 M_n に対する反復 ≺-積で定義される多項式 P(M_n; t) とベル多項式の母関数との間の関係を確立し、[t^k]P(M_n; t) = ℬ_{n,k}(Φ_{‗{1}‗}, Φ_{‗{1,2}‗}, ...) が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ベル多項式の恒等式は、組合せ的ホップ代数の枠組み内でどのように一般化可能か？
• RQ2 彩色付き集合分割は、対称関数、語対称関数、およびファウ・ディ・ブルーノ代数の背後にある代数的構造を統一する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ΠQSym におけるジンビエルおよび木型構造は、非可換ベル多項式の類似物の構成をどのように可能にするか？
• RQ4 行列理論における準行列式の公式は、非可換ホップ代数におけるベル多項式の母関数として解釈可能か？
• RQ5 WSym および ΠQSym におけるホップ代数の恒等式から、組合せ的恒等式（スターリング数やラウ数を含む）を回復するための正確な代数的メカニズムは何か？

主な発見

• サイズ n のブロック数 k の彩色付き集合分割の数は、部分的ベル多項式 B_{n,k}(a_1, a_2, ...) で与えられ、その総数は完全ベル多項式 A_n(a_1, a_2, ...) で与えられる。
• ΠQSym における部分的ベル多項式の母関数は、∑_{n} ℬ_{n,k}(Φ_{‗{1}‗}, Φ_{‗{1,2}‗}, ...) t^n = (∑_i Φ_{‗{1,...,i}‗} t^i )^{≺→k} で与えられ、上付きの記号は反復 ≺-積を表す。
• ΠQSym の基底元の行列 M_n に対する反復ジンビエル積で定義される多項式 P(M_n; t) は、[t^k]P(M_n; t) = ℬ_{n,k}(Φ_{‗{1}‗}, Φ_{‗{1,2}‗}, ...) を満たし、非可換ベル多項式生成の類似物を提供する。
• ΠQSym におけるエントリが Φ_{‗{1,...,j-i+1}‗} である行列 M_n に対する準行列式の公式は、ベル多項式の母関数を導き、エブラヒミらおよびゲルファンドらの古典的結果を一般化する。
• ホップ代数 WSym は、非可換設定におけるベル多項式の代数的構造を実現する上で中心的な役割を果たし、その双対 ΠQSym は、母関数を定義するために用いられるジンビエル構造を支持する。
• この構成により、ラグランジュ逆転や確率論におけるモーメントと累積量の関係に関連する古典的恒等式が、ホップ代数における代数的恒等式として回復される。