[論文レビュー] Bell's Theorem: a new Derivation that Preserves Heisenberg and Locality

M. R. Clover|ArXiv.org|Sep 10, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、測定の時系列順序を明示的に組み込むことでベルの定理を再導出しており、量子力学的不確定性（ハイゼンベルクの原理）が尊重される場合、ベルの不等式が弱体化することを示している。非可換な局所的観測量の交換子項を含むこの新たな境界は、量子力学や局所的な非古典的理論によっても破られない。これは、ベルの元来の不等式の破れがもはや非局所性を必要としないことを示唆している。

ABSTRACT

By implicitly assuming that all measurements occur simultaneously, Bell's Theorem only applied to local theories that violated Heisenberg's Uncertainty Principle. By explicitly introducing time into our derivation of Bell's theorem, an extra term related to the time-ordering of actual measurements is found to augment (i.e. weaken) the upper bound of the inequality. Since the same locality assumptions hold for this rederivation as for the original, we conclude that only {\em classical} measurement-order independent local hidden variable theories are constrained by Bell's inequality; time dependent, non-classical local theories (i.e. theories respecting Heisenberg's Uncertainty Principle) can satisfy this new bound while exceeding Bell's limit. Unconditional nonlocality is only expected to occur with Bell parameters between $2\sqrt{2}$ and 4. This weakening of Bell's inequality is seen for the quantum Bell operator (squared) as an extra term involving the commutators of {\em local} measurement operators. We note that a factorizable second-quantized wavefunction can reproduce experimental measurements; because such wavefunctions allow local de Broglie-Bohm hidden variable modelling, we have another indication that violation of {\em Bell's} inequality does not require an acceptance of non-locality.

研究の動機と目的

• ベルの元来の導出において、すべての測定が同時に起こると暗黙のうちに仮定している点に注目し、これがハイゼンベルクの不確定性原理と矛盾することを明らかにすること。
• ベルの不等式が元来導出された形では、古典的で測定順序に依存しない局所的隠れ変数理論にのみ適用可能であることを示すこと。
• 測定の明示的な時系列順序を用いて、局所性と量子不確定性の両方を尊重する修正されたベル不等式を導出すること。
• 量子力学や局所的な非古典的理論が、この新たなより弱い境界を非局所性を要せず満たすことを示すこと。
• de Broglie-Bohm解釈が、エンタングル状態に対しても因子化された第二量子化波動関数に適用された場合、局所的因果関係を保つことができることを主張すること。

提案手法

• 測定が時刻 $t_1, t_2, t_3, t_4$ で順次起こるとモデル化することで、相関関数に時間依存性を導入する。
• 隠れ変数の時間的でない積分を、各測定結果が時系列順の設定と局所的隠れ変数に依存する、正規化された事象の和に置き換える。
• 非可換性と時系列順序を反映する交換子 $[A(t), B(t')]$ を含む、修正されたベル型不等式を導出する。
• 量子ベル演算子の二乗にこの導出を適用し、追加の項が非可換な局所的測定演算子に起因することを示す。
• 因子化された第二量子化波動関数を用いて、OuとMandel（1988）の実験を分析し、局所的なde Broglie-Bohm軌道が観測された $2\sqrt{2}$ の違反を再現できることを示す。
• 事前選択（非一致）と事後選択（一致）の波動関数を区別し、後者のみが見かけ上の非局所性を生じると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルの元来の導出は、同時測定可能性を暗黙のうちに仮定しており、これによりハイゼンベルクの不確定性原理に違反しているのだろうか？
• RQ2 時系列順序を明示的に取り入れることで、局所性と量子不確定性を両立させる形にベルの不等式の導出を再構築できるのだろうか？
• RQ3 異なる時刻に非可換な観測量を測定する場合、修正されたベル不等式の形はどのように変化するのか？
• RQ4 de Broglie-Bohmのような局所的で非古典的な隠れ変数理論は、非局所性を要さずに量子相関を再現できるのだろうか？
• RQ5 OuとMandel（1988）やWeihsら（1998）のような実験で観測されたベル不等式の破れは、局所的で時系列順序が明示された非古典的理論と整合するのだろうか？

主な発見

• 元来のベル不等式は、同時に測定可能であると暗黙に仮定しており、これはハイゼンベルクの不確定性原理に違反する。この仮定は、量子系への適用可能性を無効にしている。
• 時系列順序を導入することで、交換子 $[A(t), B(t')]$ に比例する余分な項を含むより弱い不等式が得られ、非可換性が反映される。
• この新たな境界は、量子力学によって破られない。交換子項が実験で観測された $2\sqrt{2}$ の最大量子違反を説明しているからである。
• 因子化された第二量子化波動関数を用いることで、局所的で非古典的な隠れ変数理論（例：de Broglie-Bohm）は非局所性を要さずに量子相関を再現できる。
• ベル不等式の破れに伴う見かけ上の非局所性は、遠隔作用による瞬時の影響ではなく、エンタングル状態における一致イベントの事後選択に起因する。
• コペンハーゲン解釈とde Broglie-Bohm解釈の両方が、時系列順序と量子不確定性を適切に尊重すれば、非局所性を導入せずとも実験的データを説明できる。