[論文レビュー] Bending Fuchsian representations of fundamental groups of cusped surfaces in PU(2,1)

Pierre Will|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Geometric and Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、曲面の理想三角形分割に沿った曲げ操作を用いて、穴あき曲面の基本群のPU(2,1)への離散的で忠実かつタイプを保存する新しい族の表現を導入する。ティヒミュラー空間上のシアーに類似た座標系を用い、ティヒミュラー空間をPU(2,1)表現多様体へ埋め込む1パラメータ族を構成する。これは1個の穴あきトーラスに対する以前の結果を一般化し、トゥーリング不変量が0である新しい表現の例を提供する。

ABSTRACT

We describe a family of representations of $π_1(Σ)$ in PU(2,1), where $Σ$ is a hyperbolic Riemann surface with at least one deleted point. This family is obtained by a bending process associated to an ideal triangulation of $Σ$. We give an explicit description of this family by describing a coordinates system in the spirit of shear coordinates on the Teichmüller space. We identify within this family new examples of discrete, faithful and type-preserving representations of $π_1(Σ)$. In turn, we obtain a 1-parameter family of embeddings of the Teichmüller space of $Σ$ in the PU(2,1)-representation variety of $π_1(Σ)$. These results generalise to arbitrary $Σ$ the results obtained in a previous paper for the 1-punctured torus.

研究の動機と目的

• 穴あき曲面の基本群に対するPU(2,1)への離散的で忠実かつタイプを保存する新しい族の表現を構成すること。
• 1個の穴あきトーラスに対してのみ既知であった曲げ構成を、少なくとも1つの穴を持つ任意の穴あき曲面へ一般化すること。
• これらの表現をティヒミュラー空間内で記述するにあたり、シアー座標の精神に類似した明示的な座標系を提供すること。
• 結果として得られる表現が離散的で忠実である条件を特定すること、特にトゥーリング不変量に注目すること。

提案手法

• 著者らは、穴あき曲面の理想三角形分割に沿った曲げ操作を用い、辺回りのモノドロミーを変更することで、Fuchsian表現をPU(2,1)に変形する。
• エッジの装飾（シアーに類似たパラメータ）と曲げ角に基づく座標系を定義し、ティヒミュラー理論からのシアー座標を一般化する。
• 曲げパラメータの一貫した割り当てを可能にするために、曲面の二部グラフ的三角形分割の存在に依存し、これにより得られる表現がPU(2,1)に属することを保証する。
• 表現は、複素双曲空間内の隣接する理想実三角形に関連する複素反射と等長写像の合成により定義される。
• トゥーリング不変量は、曲げられた理想三角形のカルタン不変量の和の2倍として計算され、すべてのこのような表現に対して0であることが示される。
• スパインR-表面技術と実ラグランジュアン三角形群の性質を用いて、表現の離散性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1個の穴あきトーラスに用いられた曲げ構成を、より高い genus と複数の穴を持つ任意の穴あき曲面へ一般化できるか？
• RQ2 得られる表現をPU(2,1)表現多様体でパrameter化するのに適した座標系は何か？
• RQ3 曲げプロセスがPU(2,1)における離散的で忠実な表現を生じる条件は何か？
• RQ4 得られる表現のトゥーリング不変量は何か？また、曲げられた三角形の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、曲面のティヒミュラー空間をどのようにPU(2,1)表現多様体へ埋め込むか？

主な発見

• 著者らは、理想三角形分割に沿った曲げ操作を用いて、穴あき曲面の基本群に対するPU(2,1)への1パラメータ族の離散的で忠実かつタイプを保存する表現を構成した。
• 得られる表現は、1個の穴あきトーラスに対して知られていた結果を一般化し、トゥーリング不変量が0であることが示された。
• 表現多様体において、ティヒミュラー空間上のシアー座標に類似した座標系を明示的に定義し、曲げられた表現の族をパラメータ化した。
• この構成により、曲面のティヒミュラー空間をPU(2,1)表現多様体へ埋め込む1パラメータ族が得られた。
• すべてのエッジ装飾を1に設定し、すべての曲げ角を等しくした場合、得られる群はファルベルとコゼレフが研究した族に共役であり、対称性と反射群の解析によりその離散性が確認された。
• 本手法により、標準的なFuchsian表現や複素双曲曲面群の例を超えた、新しい離散的で忠実な表現の例を体系的に生成する方法が提供された。