[論文レビュー] Benjamini-Schramm convergence and spectrum of random hyperbolic surfaces of high genus

Laura Monk|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、高 genus のランダムな双曲的表面が Weil-Petersson 測度の下で双曲平面へ Benjamini-Schramm 収束することを確立し、ラプラシアンの固有値数関数に対する正確な Weyl 型法則を導出する。Selberg の跡公式とスペクトル解析を用いて、スペクトル測度が双曲的スペクトル測度へ収束することを証明し、genus g → ∞ のときの固有値分布および小固有値の個数に対する一様な境界を提供する。

ABSTRACT

We study geometric and spectral properties of typical hyperbolic surfaces of high genus, excluding a set of small measure for the Weil-Petersson probability measure. We first prove Benjamini-Schramm convergence to the hyperbolic plane H as the genus g goes to infinity. An estimate for the number of eigenvalues in an interval [a,b] in terms of a, b and g is then proven using the Selberg trace formula. It implies the convergence of spectral measures to the spectral measure of H as g $ ightarrow$+$\infty$, and a uniform Weyl law as b $ ightarrow$+$\infty$. We deduce a bound on the number of small eigenvalues, and the multiplicity of any eigenvalue.

研究の動機と目的

• 高 genus の典型的なコン act 双曲的表面の幾何学的およびスペクトル的挙動を、Weil-Petersson 測度が小さい集合を除いて理解すること。
• genus g → ∞ のとき、ランダムな双曲的表面が双曲平面 H へ Benjamini-Schramm 収束することを確立すること。
• a, b, および genus g を用いて、固有値数関数 N∆X(a,b) の一様 Weyl 法則を導出すること。
• 高 genus の極限における小固有値の個数および任意の固有値の重複度を評価すること。
• Weil-Petersson 確率測度の下で、スペクトル測度が H のスペクトル測度へ収束することを示すこと。

提案手法

• moduli space Mg の高 genus 双曲的表面に対して Weil-Petersson 確率測度を用い、'典型的'な表面を定義する。
• Selberg の跡公式を用いて、スペクトル数関数を幾何的データ、特に熱核のトレースと関連付ける。
• g_t(u) = β sinc(βu) - α sinc(αu) / π exp(-u²/4t²) である形のテスト関数 h_t(r) = 1/2√π t ∫_R e^{iur} g_t(u) du を用いる。ここで sinc(x) = sin x / x である。
• 熱核の境界と自己同型半径の制御を用いて、跡公式における剰余項 R_K(X,t,a,b) の推定を導出する。
• Theorem 1 (Mirzakhani) を用いて、自己同型半径の幾何的制御を行い、小自己同型半径を持つ表面は高確率で除外される。
• 虚軸上でのスペクトル分解と推定を用いて、小固有値 (λ < 1/4) を取り扱い、その寄与が O(1/t) であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高 genus の典型的なランダムな双曲的表面のスペクトルは、双曲平面のスペクトルへ収束するか？
• RQ2 genus g → ∞ のとき、[a,b] 内の固有値の個数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 典型的な高 genus 表面は、0 に近い小固有値を最大でいくつ持てるか？
• RQ4 すべての高 genus 表面において、固有値数関数に対して一様な Weyl 法則を確立できるか？
• RQ5 高 genus の極限における任意の固有値の重複度はいかなるものか？

主な発見

• Benjamini-Schramm 収束が成立：高 genus の典型的なランダムな双曲的表面に対して、自己同型半径 < L である点の割合は、g → ∞ のとき 0 へ収束する。
• スペクトル測度が弱収束する：g → ∞ のとき、典型的な表面のスペクトル測度は双曲平面 H のスペクトル測度へ弱収束する。
• 一様 Weyl 法則が成立：b → ∞ のとき、正規化された固有値数関数 N∆X(0,b)/µX(X) = b/4π + O(√b log b / g) が成り立つ。
• 1/4 未満の固有値の個数は 2g−2 で抑えられ、この境界は鋭い。典型的な表面はこの境界に達する。
• 任意の a ≥ 1/2 に対して、数関数は N∆X(a,b)/µX(X) = 1/4π ∫_a^b tanh(π√(λ−1/4)) dλ + O(√(b/log g)) を満たし、明示的な誤差境界を有する。
• j 番目の固有値は、g → ∞ のとき、高確率で λj(X) = j/g + O(1 + √(j/g log(2 + j/g))) を満たす。