[論文レビュー] Bent functions generalizing Dillon's partial spread functions

William M. Kantor|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限群の部分群の分割を用いた群論的構成を用いて、Dillonの部分スプレッド湾曲関数を一般化し、指数和に依存せずに、単純な数え上げ論法によりその関数が湾曲していることを証明する。主な貢献は、非アーベル群における相対的差集合の大きな族を生じる、広範な湾曲関数のクラスを提供することであり、同値でない構成の数に対する明示的な下界を示している。

ABSTRACT

This note presents generalizations of the partial spread bent functions introduced by Dillon, as well as the corresponding relative difference sets in nonabelian groups.

研究の動機と目的

• 群論的構造および部分群の分割を用いて、Dillonの部分スプレッド湾曲関数を一般化すること。
• 指数和に依存せず、単純な数え上げによる方法で非アーベル群における湾曲関数を構成すること。
• このような湾曲関数が非アーベル群における相対的差集合を生じることを示すこと。
• この構成から得られる対ごとに同値でない相対的差集合の数に対する下界を確立すること。

提案手法

• 位数 $ (qN)^2 $ の群 $ G $ の、位数 $ qN $ の部分群の集合 $ \Sigma $ の分割を用いて、$ f: G \to H $ を湾曲関数として定義する。ここで $ \Sigma $ は、互いに自明な交わりを持つ $ (q-1)N $ 個の部分群からなる。
• $ \Sigma $ を $ q-1 $ 個のサイズ $ N $ の部分集合 $ \Sigma_i $ に分割し、$ D_i = \bigcup \Sigma_i \setminus \{1\} $ と定義する。$ D_1 = G \setminus \bigcup_{i \neq 1} D_i $ とし、$ f(D_i) = i $ を $ i \in H $ に対して定める。
• すべての $ z \neq 1 $ と $ b \in H $ に対して、方程式 $ f(xz)f(x)^{-1} = b $ がちょうど $ qN^2 $ 個の解を持つことを示すことにより、$ f $ が湾曲していることを証明する。この際、$ cd^{-1} = b $ を満たす $ (D_c z^{-1}) \cap D_d $ の交わりの数え上げを組合せ論的に行う。
• 分割構造と部分群の交わりの性質を用いて、$ |(D_i z^{-1}) \cap D_j| $ のサイズを計算し、$ z $ が $ \Sigma_k $ の部分群に属するかどうかに基づく場合分けを行う。
• 関数 $ f $ が $ H $ の群構造にかかわらず湾曲していることを示す。$ |H| = q $ であれば、$ H $ が非アーベルであっても成立する。
• 定理 3.3 で、前準体とフーリエ解析に基づく指数和を用いた別証明を提示する。これにより、すべての $ k \in K^* $、$ u \in V $ に対して $ |\hat{f}_k(u)| = |V|^{1/2} $ が成り立つことが示され、フーリエ定義による湾曲性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dillonの部分スプレッド湾曲関数は、群論的部分群分割を用いてアーベル群を超えて一般化可能か？
• RQ2 群 $ G $ と部分群の集合 $ \Sigma $ にどのような条件を課すと、$ \Sigma $ の分割に基づく関数 $ f: G \to H $ が湾曲関数となるか？
• RQ3 非アーベル群において、このような湾曲関数から得られる同値でない相対的差集合はいくつ存在するか？
• RQ4 同じ順序の非同型群 $ H $ に対しても、同じ分割構造が湾曲関数を生じるか？
• RQ5 この構成から得られる対ごとに同値でない湾曲関数または相対的差集合の漸近的数は何か？

主な発見

• この構成により、$ H $ が非アーベルであっても、部分群の分割と数え上げのみを用いて、任意の位数 $ q $ の群 $ H $ に対して $ f: G \to H $ となる湾曲関数が得られる。
• $ G $ が位数 $ p^{2m} $ の初等アーベル $ p $-群で、$ H $ が任意の位数 $ p^s $ の群であるとき、$ G \times H $ に $ (p^{2m}, p^s, p^{2m}, p^{2m-s}) $-相対的差集合が、$ p^{p^{m-1} - 9m^2} $ 個を超える対ごとに同値でないものがある。
• このような同値でない相対的差集合の数は $ p^{p^{m-1}} $ を超え、この下界はデザルゴスのスプレッドにおける可能な部分集合 $ \Sigma $ の数から導出される。
• 定理 2.2 による構成は指数和を避け、部分群の交わりの組合せ論的数え上げにのみ依存する。
• 定理 3.3 の別証明ではフーリエ解析と前準体の性質を用い、すべての $ k \in K^* $、$ u \in V $ に対して $ |\hat{f}_k(u)| = |F| $ が成り立つことを示し、フーリエ定義による湾曲性が裏付けられる。
• $ H $ が非同型であっても、同じ $ \Sigma $ の分割が異なる湾曲関数を生じることから、$ H $ の群型とは独立した構造的性質が示された。