[論文レビュー] Bergman kernels and equilibrium measures for ample line bundles

Robert J. Berman|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Geometry and complex manifolds被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、コンpact複素多様体上の豊富な正則線束に、一般の滑らかなヘルミート計量を施した場合のベルグマン核の漸近的挙動を確立し、均衡計量と曲率形式を含む共通の極限に収束する3つの自然な測度（均衡測度、ベルグマン関数、k番目のベルグマン体積形式）の収束を示している。主な結果は、ベルグマン核の漸近的挙動が均衡計量によって支配され、均衡計量が元の計量と一致する集合の外では指数的減衰が生じ、かつ曲率が正のとき、その内部では完全な局所展開が成り立つことである。

ABSTRACT

Let L be an ample holomorphic line bundle over a compact complex Hermitian manifold X. Any fixed smooth Hermitian metric on L induces a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections with values in the k:th tensor power of L. In this paper various convergence results are obtained for the corresponding Bergman kernels. The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the equilibrium metric associated to the fixed metric, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of the fixed metric itself on a certain support set. It is also shown that the equilibrium metric has Lipschitz continuous first derivatives. These results can be seen as generalizations of well-known results concerning the case when the curvature of the fixed metric is positive (the corresponding equilibrium metric is then simply the fixed metric itself).

研究の動機と目的

• 正の曲率に限らない既知のベルグマン核の漸近的挙動を、豊富な線束上の一般の滑らかなヘルミート計量へと拡張すること。
• ベルグマン関数および関連測度のkが大きいときの極限を、均衡計量と元の計量の曲率形式を用いて特徴付けること。
• 均衡計量のC^{1,1}-正則性を示し、複素モンジュ＝アンペール理論において独立に価値のある結果を得ること。
• 正の曲率でない状況において、ティアン＝ゼルドイッチ＝カトリン展開を、均衡計量が元の計量と一致する集合に制限することで一般化すること。
• 固定された除法子に沿って消える切断の枠組みを適応し、負の曲率を持つ特異計量をモデル化すること。

提案手法

• 複素モンジュ＝アンペール方程式の下位解の上包として定義される均衡計量φₑを導入し、最大の曲率正則化計量を捉える。
• 固定された計量φと体積形式ωₙによって誘導されるH⁰(X, Lᵏ)上のヒルベルト空間構造を用い、ベルグマン核Kₖ(x,y)を直交射影核として定義する。
• kが大きいときのベルグマン関数Bₖ(x) = Kₖ(x,x)e^{-kφ}の漸近的挙動を解析し、φₑ = φである集合D上で(ddᶜφₑ)ⁿ/n!を含む測度への収束を示す。
• ベッドフォード＝トーマスの手法と複素モンジュ＝アンペール方程式の境界値問題にインspiredした技術を用いて、均衡計量φₑのC¹,¹-正則性を証明する。
• X×X上での測度k⁻ⁿ|Kₖ(x,y)|²_{kφ}ωₙ(x)∧ωₙ(y)の弱収束をΔ ∧ 1_D (ddᶜφ)ⁿ/n!に示す。ここでΔは対角カレントである。
• 除法子Zに沿って消える切断の部分空間に枠組みを適応し、除法子に伴う特異計量ψ = φ - ln|s|²に対して、結果が依然として成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の計量φの曲率が正ではなく、半正または不定であっても、ベルグマン核の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 ベルグマン関数Bₖ(x) = Kₖ(x,x)e^{-kφ}のkが大きいときの正確な極限は、線束および計量の幾何的不変量を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 変分問題によって定義される均衡計量φₑは、曲率形式(ddᶜφ)ⁿおよびφₑ = φである集合D（サポート集合）とどのように関係するか？
• RQ4 正の曲率を持つ点において、正の曲率のためのティアン＝ゼルドイッチ＝カトリン局所漸近展開を、グローバルに正でない計量の下でも一般化できるか？
• RQ5 固定された除法子に沿って消えるように制限された場合、ベルグマン核の漸近的挙動はどのように変化するか？これは負の曲率を持つ特異計量の導入を意味する。

主な発見

• 均衡測度 (ddᶜφₑ)ⁿ/n!、k⁻ⁿBₖωₙのkが大きいときの極限、およびk番目のベルグマン体積形式 (ddᶜ(k⁻¹ln Kₖ(x,x)))ⁿ/n! の3つの測度は、すべて弱収束して同じ測度 1_D (ddᶜφ)ⁿ/n! に収束する。ここでDは均衡計量φₑが元の計量φと一致する集合である。
• 集合D上で、ベルグマン核は漸近展開 Kₖ(x,x) = (kⁿ det(ddᶜφₑ)(x) + ...) e^{kφₑ(x)} を持つ。低次の項はkのべきで表され、ddᶜφₑ > 0のとき、主項はティアン＝ゼルドイッチ＝カトリン展開と一致する。
• Dの外では、ベルグマン関数Bₖ(x)は指数的減衰を示す：k → ∞ で Kₖ(x,x)e^{-kφ(x)} → 0 が指数的速さで成り立つ。
• 均衡計量φₑはX上でC¹,¹-正則である。これは複素モンジュ＝アンペール理論において独立に価値のある結果である。
• X×X上での測度k⁻ⁿ|Kₖ(x,y)|²_{kφ}ωₙ(x)∧ωₙ(y)の弱極限はΔ ∧ 1_D (ddᶜφ)ⁿ/n! に一致する。ここでΔは対角に沿ったカレントである。
• 切断が除法子Zに沿って消える場合、結果は特異計量ψ = φ - ln|s|²に対して拡張され、漸近的挙動はψに付随する均衡計量によって支配され、曲率のサポート上での体積条件によって定義される集合D_Zで特徴づけられる。