[論文レビュー] Bergman kernels and subadjunction

Bo Berndtsson, Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、Ohsawa-Takegoshi 型の $L^{2/m}$ 拡張定理を確立し、それを用いて代数幾何におけるKawamataの部分接続定理の新しい証明を与える。Bergman核計量と擬勢論および正則性の不変性を組み合わせることで、一般化されたファイバー上の $m$-Bergman核計量が全空間上で半正の曲率を持つ計量に拡張されることを示し、対応する対数正則な対について部分接続の直接的で明快な解析的証明が得られる。

ABSTRACT

In this article our main result is a more complete version of the statements obtained in { m [6]}. One of the important technical point of our proof is an $\displaystyle L^{2\over m}$ extension theorem of Ohsawa-Takegoshi type, which is derived from the original result by a simple fixed point method. Moreover, we show that these techniques combined with an appropriate form of the"invariance of plurigenera" can be used in order to obtain a new proof of the celebrated Y. Kawamata subadjunction theorem.

研究の動機と目的

• 特徴関数によって定義される部分多様体上の正則切断に対する、Ohsawa-Takegoshi 型の $L^{2/m}$ 拡張定理を一般化すること。
• Bergman核計量と曲率の正性を用いた、Y. Kawamata の部分接続定理に対する新しい解析的アプローチを確立すること。
• 特異なファイブレーションであっても、ファイブレーション $p: X \to Y$ の一般ファイバー上の $m$-Bergman核計量が全空間上で半正の曲率を持つ計量に拡張されることを証明すること。
• これらの技術を、正則性の不変性と組み合わせることで、klt境界を持つ対数正則な対について、部分接続の直接的で明快な証明が得られることを示すこと。
• 結果を、解析的特異性をもつ閉正のカレントへと拡張し、Weil除数を超える部分接続結果を一般化すること。

提案手法

• 元の Ohsawa-Takegoshi $L^2$ 拡張定理に固定点法を適用することで、$L^{2/m}$ 拡張定理を導出する。
• ファイブレーション $p: X \to Y$ の一般ファイバー上の $m$-Bergman核計量を用いて、$mK_{X/Y} + L$ 上に正の曲率カレントを持つ計量を構成する。
• 標準的な下半連続性およびZariski開性の議論を用いて、局所的に拡張可能なZariski開集合 $Y_0 \subset Y$ に制限する。
• 擬勢論を用いて、Bergman核計量が特異ファイバーを越えて半正のカレントとして拡張されることを示す。
• ラインバンドルの全体切断を用いて近似計量を構成し、正則化定理を用いて閉正のカレントを代数的計量で近似する。
• Hölderの不等式と体積の上限を用いて、正規化係数 $\tau(w)$ の可積分性を制御し、$L^{2+2\varepsilon}$ 積分の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ohsawa-Takegoshi の $L^2$ 拡張定理は、正則関数によって定義される部分多様体に対して $L^{2/m}$ の設定へ一般化可能か？
• RQ2 特異なファイブレーションの一般ファイバー上の $m$-Bergman核計量は、全空間上で半正の曲率を持つ計量に拡張可能か？
• RQ3 Bergman核と $L^{2/m}$ 拡張の技術を用いて、Kawamata の部分接続定理に対する新しい解析的証明が可能か？
• RQ4 正則性の不変性は、部分接続の文脈における曲率の正性とどのように関係するか？
• RQ5 部分接続結果は、Weil除数から、解析的特異性をもつ閉正のカレントへ拡張可能か？

主な発見

• 定数 $C_0$ が元の Ohsawa-Takegoshi 定理と一致する $L^{2/m}$ 拡張定理が確立された。
• ファイブレーション $p: X \to Y$ の一般ファイバー上の $m$-Bergman核計量が、$mK_{X/Y} + L$ 上に半正の曲率カレントを持つ計量に拡張された。
• $p$ が特異であっても、$mK_{X/Y} + L$ 上の計量がファイバーごとの $m$-Bergman核計量と等しいことが示された。
• Hölderの不等式と体積の上限を用いて、$\int_{\Omega} \frac{d\lambda(w)}{\tau^{2+2\varepsilon_0}(w)}$ の収束が証明され、可積分性が保証された。
• Bergman核、$L^{2/m}$ 拡張、カレントの正則化を用いた解析的手法により、部分接続定理が再証明された。
• 結果は、最小限の修正で、解析的特異性をもつ閉正のカレントへと一般化された。