[論文レビュー] Bergman kernels for weighted polynomials and weighted equilibrium measures of C^n

Robert J. Berman|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ℂⁿにおける重み付き多項式のBergman核の漸近的挙動を、𝒞¹,¹重み関数𝜙のもとで確立する。重み付き平衡測度がコンパクト集合Dに台を持つこと、およびスケーリングされたBergman関数が弱収束することを示す。主な結果は、3つの自然な測度—Bergman関数、Bergman核密度、および平衡ポテンシャルのMonge-Ampère測度—が、k→∞の極限においてすべて同じ測度1_D (ddᶜ𝜙)^n / n! に一致することである。これは、n=1の既知の結果を高次元へ拡張し、ランダム行列理論およびランダム多項式と関連付ける。

ABSTRACT

Various convergence results for the Bergman kernel of the Hilbert space of all polynomials in \C^{n} of total degree at most k, equipped with a weighted norm, are obtained. The weight function is assumed to be C^{1,1}, i.e. it is differentiable and all of its first partial derivatives are locally Lipshitz continuous. The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the global equilibrium potential associated to the weight function, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of the weight function itself on a certain set. A setting of polynomials associated to a given Newton polytope, scaled by k, is also considered. These results apply directly to the study of the distribution of zeroes of random polynomials and of the eigenvalues of random normal matrices.

研究の動機と目的

• ℂⁿにおける𝒞¹,¹重み関数をもつ重み付き多項式のBergman核のk→∞における漸近的挙動を分析すること。
• k→∞におけるスケーリングされたBergman関数k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙの極限測度を特定すること。
• Bergman関数、Bergman核密度、およびMonge-Ampère測度という3つの自然な測度が、コンパクト集合D上で同一の平衡測度に一致することを統一すること。
• n=1における既知の結果を高次元へ拡張すること、特にランダム行列固有値分布およびランダム多項式零点分布への応用。
• Bergman核のkのべき級数としての局所的漸近展開を確立し、滑らかで正の曲率の状況におけるTian-Zelditch-Catlin展開と一致させること。

提案手法

• 全次数≤kの多項式の重み付きヒルベルト空間ℋₖを用い、ノルム||𝑓ₖ||²ₖᵠ := ∫|𝑓ₖ(𝑧)|²e⁻ᵏᶲ d𝜔ₙで定義する。
• Bergman核Kₖ(𝑧,𝑤)およびBergman関数Bₖ(𝑧) := Kₖ(𝑧,𝑧)e⁻ᵏᶲの定義。
• 重み関数𝜙に上から支配されるsubharmonic関数の上包として定義される重み付き平衡ポテンシャル𝜙ₑの導入。
• Monge-Ampère測度(ddᶜ𝜙ₑ)ⁿ/n!の適用と、極限測度1_D (ddᶜ𝜙)^n / n!との同定。
• 複素トーラス作用𝑧 ↦ eʰ𝑧を用い、ℝⁿからの正則性および比較結果をℂ*ⁿへ一般化する。
• ニュートン多面体の体積推定と格子点数え上げを用いて、ℂ*ⁿ上でのk⁻ⁿBₖのL¹収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き多項式のℂⁿにおけるBergman関数Bₖ(𝑧)は、𝒞¹,¹重み関数のもとでk→∞の極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 k→∞における測度k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙの弱収束先は何か？また、重み関数の曲率とどのように関係するか？
• RQ3 Bergman核および関連測度の収束は、n=1から高次元へ拡張可能か？どのような正則性仮定が必要か？
• RQ4 ランダム正規行列の固有値分布とランダム多項式の零点集合は、ℂⁿにおいてどの程度同じ平衡測度に収束するか？
• RQ5 Bergman核がkのべき級数として完全な局所的漸近展開をもつ条件は何か？また、Tian-Zelditch-Catlin展開とどのように関係するか？

主な発見

• k→∞におけるスケーリングされたBergman関数k⁻ⁿBₖ(𝑧)は、重み関数によって定義されるコンパクト集合D上で、測度1_D (ddᶜ𝜙)^n / n! に弱収束する。
• 3つの測度—k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙ、(ddᶜ(k⁻¹ln Kₖ(𝑧,𝑧)))ⁿ/n!、および(ddᶜ𝜙ₑ)^n/n!—はすべて、同じ平衡測度1_D (ddᶜ𝜙)^n / n! に弱収束する。
• Dの内部における滑らかな点でddᶜ𝜙 > 0が成り立つ場合、Bergman核Kₖ(𝑧,𝑤)はkのべき級数として完全な局所的漸近展開をもち、Tian-Zelditch-Catlin展開と一致する。
• ℂⁿ×ℂⁿ上でのk⁻ⁿ|Kₖ(𝑧,𝑤)|²e⁻ᵏᶲ(𝑧)e⁻ᵏᶲ(𝑤)𝜔ₙ(𝑧)∧𝜔ₙ(𝑤)のグローバル弱収束先は、1_D Δ ∧ (ddᶜ𝜙)^n / n! である。ここでΔは対角カレントである。
• ニュートン多面体kΔに付随する重み付き多項式に対して、スケーリングされたBergman関数はL¹で1_{D_Δ ∩ ℂ*ⁿ} det(ddᶜ𝜙)に収束し、弱収束は平衡測度(ddᶜ𝜙_Δ,ₑ)^n / n! に一致する。
• 多面体Δの内部の体積は、dim ℋₖΔの下界を与える。すなわち、dim ℋₖΔ ≥ Vol(Δ̇)kⁿ + o(kⁿ) であり、漸近的極限において等号が成り立つ。