[論文レビュー] Bergman kernels, random zeroes and equilibrium measures for polarized pseudoconcave domains

Robert J. Berman|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2006

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、極化された複素多様体内の厳密に擬凹領域における正則セクションのベルグマン核および計量の大きな k における漸近的性質を、曲率および境界データを用いて、適合性条件のもとで確立する。均衡測度を明示的に計算し、確率的正則セクションおよびトーピツ固有値分布を研究するための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

Let X be a strictly pseudoconcave domain in a closed polarized complex manifold (Y,L) where L is a (semi-)positive line bundle over Y. Any given Hermitian metric on L, together with a volume form, induces by restriction to X a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections on Y with values in the k:th tensor power of L. In this paper the leading large k asymptotics for the corresponding Bergman kernels and metrics are obtained in terms of the curvature of L and of the boundary of X (undere a certain compatibility assumption). The convergence of the Bergman metrics is obtained in a very general setting where X is replaced by a compact subset. As an application the (generalized) equilibrium measure of the polarized pseudoconcave domain X is computed explicitely. Applications to the zero and mass distribution of random holomorphic sections and the eigenvaluedistribution of Toeplitz operators will appear elsewhere.

研究の動機と目的

• 極化された複素多様体内の厳密に擬凹領域におけるベルグマン核および計量の主要漸近的挙動を導出すること。
• 従来の結果を一般化して、コンact部分集合におけるベルグマン計量の収束を確立すること。
• 極化された擬凹領域の一般化された均衡測度を明示的に計算すること。
• 確率的正則セクションの零点および質量分布を研究するための解析的基盤を構築すること。
• この幾何的設定においてトーピツ作用素の固有値分布を分析するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 与えられた (半-)正のラインバンドル L 上のヘルミート計量と体積形式を用いて、X 上の L^k の正則セクションにヒルベルト空間構造を誘導する。
• Y から X へのグローバルセクションの制限を用いて、各 k に対してベルグマン核および計量を定義する。
• L の曲率および X の境界を用いて、適合性仮定のもとで k → ∞ のときの主要漸近的性質を導出する。
• 関数解析的技法を用いて、コンパクト部分集合におけるベルグマン計量の収束を証明する。
• 幾何学的および複素解析的道具を用いて、均衡測度を明示的に計算する。
• 大 k におけるベルグマン核の漸近的解析に依拠して、確率的セクションの統計およびスペクトル論に接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極化された複素多様体内の厳密に擬凹領域における正則セクションのベルグマン核および計量は、k → ∞ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 ラインバンドル L の曲率および X の境界は、ベルグマン核の主要漸近的性質を決定するために果たす役割は何か？
• RQ3 ベルグマン計量が X のコンパクト部分集合上で収束するための条件は何か？
• RQ4 極化された擬凹領域の均衡測度をどのように明示的に計算できるか？
• RQ5 これらの漸近的性質は、確率的正則セクションの零点分布およびトーピツ作用素の固有値分布にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 適合性仮定のもとで、ベルグマン核および計量の主要漸近的性質は、L の曲率および X の境界の幾何学的性質を明示的に決定する。
• 一般設定のもとで、ベルグマン計量は X のコンパクト部分集合上で収束する。これは、滑らかな領域に限らない収束結果の一般化である。
• 極化された擬凹領域の一般化された均衡測度は、ベルグマン核の漸近的構造を用いて明示的に計算される。
• 漸近的解析は、確率的正則セクションの零点および質量分布を研究する基盤を提供する。
• これらの結果は、このような領域におけるトーピツ作用素の固有値分布を分析するための幾何的枠組みを確立する。
• 曲率および境界データは、大 k におけるベルグマン核の主要項の振る舞いを完全に決定する。