[論文レビュー] Bergman projection induced by radial weight

José Ángel Peláez, Jouni Rättyä|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Holomorphic and Operator Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、単位円板上の径数的重み ω について、Bergman射影 Pω が L∞ からBloch空間 B への有界性および／または全射性を満たすための条件、あるいは双対的に、A¹_ω の双対空間が A²_ω-対応によって Bloch空間 B に同型であるための条件を特徴づける。弱い正則性のもとで長年の未解決問題であったLittlewood-Paley推定と Lp_ω における Pω の有界性を解き、すべての特徴づけがモーメントまたは 尾積分 ∫_r^1 ω(t)dt の二重化条件に帰着されることを示している。

ABSTRACT

The question of when the Bergman projection $P_\omega$ induced by a radial weight $\omega$ on the unit disc is a bounded operator from one space into another is of primordial importance in the theory of Bergman spaces. The long-standing problem of describing the radial weights $\omega$ such that $P_\omega$ is bounded on the Lebesgue space $L^p_\omega$ had been known to experts since decades before it was formally posed by Dostani\'c in 2004. A natural limit case of this setting is when $P_\omega$ acts from $L^\infty$ to the Bloch space. The surjectivity of the operator becomes another relevant question in this limit case. The main findings of this study are shortly listed as follows. We establish characterizations of the radial weights $\omega$ on the unit disc such that $P_\omega:L^\infty o\mathcal{B}$ is bounded and/or acts surjectively, or the dual of $A^1_\omega$ is isomorphic to the Bloch space $\mathcal{B}$ under the $A^2_\omega$-pairing. We also solve the problem posed by Dostani\'c under a weak regularity hypothesis on the weight involved. With regard to Littlewood-Paley estimates, we describe the radial weights $\omega$ such that the norm of any function in $A^p_\omega$ is comparable to the norm in $L^p_\omega$ of its derivative times the distance from the boundary. This last-mentioned result solves another well-known problem on the area. All characterizations can be given in terms of doubling conditions on moments and/or tail integrals $\int_r^1\omega(t)\,dt$ of $\omega$, and are therefore easy to interpret. We also make substantial progress about the two weight inequality $$ \|P_\omega(f)\|_{L^p_ u}\le C\|f\|_{L^p_ u},\quad f\in L^p_ u, \quad 1<p<\infty. $$ for radial weights $\omega$ and $ u$.

研究の動機と目的

• 単位円板上の径数的重み ω について、Bergman射影 Pω: L∞ → B が有界となる条件を特徴づけること。
• Pω が L∞ からBloch空間 B への全射となる条件を特定すること。
• A²_ω-対応において、A¹_ω の双対空間がBloch空間 B に同型となる径数的重みを特徴づけること。
• Dostanić が2004年に提起した問題、弱い正則性のもとでの Lp_ω における Pω の有界性を解くこと。
• Ap_ω におけるLittlewood-Paley推定が成り立つための必要十分条件を尾積分を用いて特徴づけること。

提案手法

• A²_ω-対応を用いて双対空間を特定し、特に (A¹_ω)′ とBloch空間 B の関係を特定する。
• 双対理論を用いて、Pω: L∞ → B の有界性と埋め込み (A¹_ω)′ ⊂ B の関係を結ぶ。
• 尾積分 ∫_r^1 ω(t)dt とモーメント条件を用いて、二重化行動を特徴づける。
• 関数 Lω(x) = –log ω(x) を導入し、その微分を分析することで、クラス pD を特徴づける。
• 積分推定と変数変換を用いて、Dp 条件と Lp_ω 有界性を関連付ける。
• 補題28 を適用して、ω ∈ pD と、k = 1,2,3 に対して lim sup_x→∞ x^k |L^{(k)}_ω(x)| < ∞ が同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの径数的重み ω に対して、Bergman射影 Pω: L∞ → B が有界となるか？
• RQ2 Bergman射影 Pω: L∞ → B がいつ全射となるか？
• RQ3 A²_ω-対応において、双対空間 (A¹_ω)′ がBloch空間 B に同型となるのはいつか？
• RQ4 どの径数的重み ω が、1 < p < ∞ に対して Pω が Lp_ω に有界となるか？
• RQ5 どの径数的重み ω に対して、Ap_ω のノルムと f'(z)(1–|z|²) の Lp_ω ノルムが同値となるか？

主な発見

• Pω: L∞ → B が有界であるための必要十分条件は、尾積分 ∫_r^1 ω(t)dt における二重化条件を満たすことである。
• A²_ω-対応において (A¹_ω)′ がBloch空間 B に同型であるための必要十分条件は、ω ∈ pD であることである。
• 弱い正則性仮定のもとで、Pω: Lp_ω → Lp_ω が有界であるための必要十分条件は、ω ∈ pD であることである。
• Littlewood-Paley推定 ‖f‖_Ap_ω ≍ ‖f'(z)(1–|z|²)‖_Lp_ω が成り立つための必要十分条件は、モーメントまたは尾積分における二重化条件を満たすことである。
• クラス pD は、Lω(x) = –log ω(x) を用いて lim sup_x→∞ x|L′_ω(x)| < ∞ で特徴づけられる。
• ω ∈ pD のとき、ω(x)^p ≲ ω(x)^{p+ε} が成り立つ。これは、十分小さい ε > 0 に対して ω ∈ pD であることを示唆しており、Pω: Lp_ω → Lp_ω が有界であるための必要十分条件が ω ∈ pD であるという予想を支持する。