[論文レビュー] Bernoulli actions and infinite entropy

David Kerr, Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可算なソフィック群に対して、無限大のエントロピーを持つベースをもつベルヌーイ作用が、任意のソフィック近似列に関して無限大のソフィック測度エントロピーを持つことを確立している。位相的ダイナミクス表現とエントロピー下界の技法を用いて、このようなベルヌーイ作用のエントロピーが近似列に依存せず、常にベースエントロピーに等しくなることを証明し、ボーウェンが提起した問題を解決するとともに、非アーメンおよび非オルンシュタインなソフィック群への古典的エントロピー理論の拡張を達成した。

ABSTRACT

We show that, for countable sofic groups, a Bernoulli action with infinite entropy base has infinite entropy with respect to every sofic approximation sequence. This builds on the work of Lewis Bowen in the case of finite entropy base and completes the computation of measure entropy for Bernoulli actions over countable sofic groups. One consequence is that such a Bernoulli action fails to have a generating countable partition with finite entropy if the base has infinite entropy, which in the amenable case is well known and in the case that the acting group contains the free group on two generators was established by Bowen using a different argument.

研究の動機と目的

• ルイス・ボーウェンが提起した、無限大のベースエントロピーを持つベルヌーイ作用におけるソフィック測度エントロピーの振る舞いに関する問題を解決すること。
• 可算なソフィック群の全範囲にわたり、アーメン群やF₂を含む群に限らないベルヌーイ作用のエントロピー分類を拡張すること。
• このような作用が、有限エントロピーを持つ生成可能な可測分割をもたないことを示し、アーメンおよびF₂を含む場合に既知の結果を一般化すること。
• 可算なソフィック群上のすべてのベルヌーイ作用について、ソフィック測度エントロピーを一様にベースエントロピーに等しく計算することを完了すること。

提案手法

• コンパクトな距離空間上の連続作用とC*(d)へのユニタル*-準同型を用いて、ダイナミクスを位相的枠組みで表現する。
• C(X)における有限の分割関数の族を用いて、*-準同型の間の擬距離を定義し、測度論的エントロピーの近似を位相的エントロピーの技法によって可能にする。
• スターリングの近似とエントロピーの下界を用いて、L∞(X,μ)からC^dへの、およそG-不変かつおよそ測度を保存する写像の数を推定する。
• 組合せ的エントロピー推定と関数ξ(t) = -t log tの一様連続性を用いて、このような準同型の空間におけるε-分離集合の指数的増加率の下界を確立する。
• ボーウェンの有限エントロピー下界の議論の変種を、無限大エントロピーの状況に適用し、ソフィック近似の構造と測度集中現象を活用する。
• 下界と既知の有限エントロピーの場合を組み合わせることで、ベースエントロピーが無限大である場合、すべての近似列に対してソフィック測度エントロピーが無限大であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算なソフィック群上のベルヌーイ作用が、無限大のベースエントロピーを持つ場合、任意のソフィック近似列に対して無限大のソフィック測度エントロピーを持つだろうか？
• RQ2 可算なソフィック群上のベルヌーイ作用のエントロピーは、近似列に依存せず、常にベースエントロピーとして一様に計算可能だろうか？
• RQ3 ベースエントロピーが無限大であるベルヌーイ作用において、生成可能な有限エントロピーの可測分割が存在しないことは、アーメン群やF₂を含む群に限らず、すべての可算なソフィック群に対して成り立つだろうか？
• RQ4 ベースが無限大エントロピーを持つ場合であっても、可算なソフィック群上のベルヌーイ作用の同値類は、単にベースエントロピーによって決定されるだろうか？

主な発見

• 任意の可算なソフィック群Gとそのソフィック近似列Σに対して、ベース(X,μ)を持つベルヌーイ作用のソフィック測度エントロピーは、H(μ)（ベースエントロピー）に等しくなる。H(μ)が有限であっても無限大であっても同様に成り立つ。
• H(μ) = +∞のとき、すべてのソフィック近似列Σに対して、sofic measure entropy hΣ,μ^G(X^G, G) も +∞ である。
• H(μ) = +∞のとき、X^Gの生成可能な可算な可測分割Qで、H_μ^G(Q) < ∞ を満たすものは存在しない。これは、アーメン群およびF₂を含む場合に既知の結果を一般化する。
• この結果により、可算なソフィック群上のベルヌーイ作用のエントロピー分類が完全に達成され、同相なベルヌーイ作用は、必ず同じベースエントロピーを持つことが示された。
• 証明は、スターリングの公式に基づく位相的および組合せ的エントロピー推定と測度集中現象を用いて、無限大エントロピーがすべてのソフィック近似において保存されることを確立した。
• この研究は、ウェイスの懸案を解決し、ボーウェンの初期結果を非アーメン群、トーショントルス群（F₂を含まない）を含むすべての可算なソフィック群にまで拡張した。