[論文レビュー] Bernoulli line percolation

Marcelo R. Hilário, Vladas Sidoravičius|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、d ≥ 3 における Z^d 上に、座標軸に平行な全直線が固定確率で独立に削除される、新しいパーコレーションモデルを導入する。その結果生じる空集合 V に対して、連結性における相転移を証明している。上臨界領域では、切断された連結関数がべき則に従って減少し、下臨界領域では指数的減衰からべき則減衰への遷移を示す。これは古典的パーコレーションモデルとは異なっている。

ABSTRACT

We introduce a percolation model on $\mathbb{Z}^d$, $d \geq 3$, in which the discrete lines of vertices that are parallel to the coordinate axis are entirely removed at random and independently of each other. In this way a vertex belongs to the vacant set $\mathcal{V}$ if and only if none of the $d$ lines to which it belongs, is removed. We show the existence of a phase transition for $\mathcal{V}$ as the probability of removing the lines is varied. We also establish that, in the certain region of parameters space where $\mathcal{V}$ contains an infinite component, the truncated connectivity function has power-law decay, while inside the region where $\mathcal{V}$ has no infinite component, there is a transition from exponential to power-law decay. In the particular case $d=3$ the power-law decay extends through all the region where $\mathcal{V}$ has an infinite connected component. We also show that the number of infinite connected components of $\mathcal{V}$ is either $0$, $1$ or $\infty$.

研究の動機と目的

• 座標軸に平行な全直線が確率的にかつ独立に削除される Z^d (d ≥ 3) におけるパーコレーションを研究すること。
• 得られる空集合 V の連結性特性、特に無限大連結成分の存在と性質を分析すること。
• パラメータ p_i に応じた、切断された連結関数 P_p(0 ↔ ∂B(n), 0 ↮ ∞) の減衰挙動を調査すること。
• 空集合 V の無限大連結成分の数が 0、1、または ∞ であるかを特定し、パrameter p_i に応じた相転移を特徴づけること。

提案手法

• 空集合 V を、各直線 ℓ_i(w) に含まれない Z^d の頂点の集合として定義する。各直線は確率 1 − p_i で独立に削除される。
• 標準正規直交基底 {e_1, ..., e_d} を用いて、w ∈ P_i（e_i に直交する超平面）に対し、直線 ℓ_i(w) = {w + z e_i : z ∈ Z} を定義する。
• パーコレーション理論の手法、特にカップリング議論とパス分解を用いて、空集合内の連結性を分析する。
• 双対性と、Z^2 及びその双対格子 Z^2_* 上のベルヌーイサイトパーコレーションに関する既知の結果を用い、閉じた ∗-パスの確率を評価する。
• Z^3 内のパスの分解を、適合パス積 (γ × γ') を用いて構成し、特定の p_i 条件の下で長距離連結性の存在を証明する。
• ある i に対して p_i < p_c(Z^{d-1}) ならば指数的減衰を示し、d=3 の場合に p_2, p_3 > p_c(Z^2) ならば、同じくべき則的減衰を示す（高次元でも同様の条件）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線の削除確率が十分に小さいとき、空集合 V はパーコレーションする（すなわち、無限大連結成分を含む）か？
• RQ2 下臨界および上臨界領域における切断された連結関数 P_p(0 ↔ ∂B(n), 0 ↮ ∞) の減衰速度は何か？
• RQ3 このモデルは、下臨界領域内で指数的減衰からべき則減衰への遷移を示すか？
• RQ4 空集合 V の無限大連結成分の数は、1つより多くても有限である可能性はあるか？
• RQ5 特に d=3 および d≥4 の場合に、パラメータ p_i に応じたパーコレーションの臨界閾値は何か？

主な発見

• ある i に対して p_i < p_c(Z^{d-1}) かつある j ≠ i に対して p_j ≠ 1 ならば、P_p(0 ↔ ∞) = 0 である。これは、無限大連結成分が存在しないことを意味する。
• すべての p_i が 1 に十分近いならば、P_p(0 ↔ ∞) > 0 であり、無限大連結成分の存在が保証される。
• p_i < p_c(Z^{d-1}) かつ i ≠ j に対して p_j < p_c(Z^{d-1}) ならば、連結性は指数的に減衰する。すなわち、ある ψ > 0 に対して P_p(0 ↔ ∂B(n)) ≤ e^{-ψ(p,d)n} が成り立つ。
• d = 3 で p_2, p_3 > p_c(Z^2) ならば、切断された連結関数は P_p(0 ↔ ∂B(n), 0 ↮ ∞) ≥ α'(p) n^{-α(p)} をすべての n ≥ 0 に対して満たし、べき則的減衰を示す。
• d ≥ 4 で、p_4, ..., p_d ≥ p•(p_2, p_3) を満たすある p• ∈ (0,1) が存在するならば、同様にべき則的下界が成り立つ。
• 空集合 V の無限大連結成分の数は、ほとんど確実に 0、1、または ∞ であり、1 より大きい有限の数にはなり得ない。