[論文レビュー] Bernoulli Percolation on random Tessellations

Sebastian Ziesche|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ℝᵈにおけるランダムタイル分割へボーリング・パーコレーションを一般化し、弱定常性およびモーメント条件のもとで無限クラスタの一意性を示した。これは適応されたバーディン＝キーンの議論を用いて実現された。また、混合性および細胞サイズ統計に基づく2つの柔軟なフレームワークを導入し、広範なランダムタイル分割、特に行列式およびギブス型点過程から得られるものについて、非自明な相転移を証明した。

ABSTRACT

We generalize the standard site percolation model on the $d$-dimensional lattice to a model on random tessellations of $\mathbb R^d$. We prove the uniqueness of the infinite cluster by adapting the Burton-Keane argument \cite{burton1989density}, develop two frameworks that imply the non-triviality of the phase transition and show that large classes of random tessellations fit into one of these frameworks. Our focus is on a very general approach that goes well beyond the typical Poisson driven models. The most interesting examples might be Voronoi tessellations induced by determinantal processes or certain classes of Gibbs processes introduced in \cite{schreiber2013}. In a second paper we will investigate first passage percolation on random tessellations.

研究の動機と目的

• 正則格子からℝᵈのランダムタイル分割へのボーリング・サイト・パーコレーションの拡張を、最小限の対称性仮定のもとで行う。
• 定常性および有限な細胞モーメントの境界といった弱い条件下で、この一般化モデルにおける無限クラスタの一意性を確立する。
• ランダムタイル分割における非自明な相転移を保証する2つの一般的フレームワークの開発。
• 行列式的およびギブス型の点過程を含む多様な点過程が、これらのフレームワークを満たすタイル分割を生成することを示す。
• ポアソン駆動モデルにとどまらない、より広範に適用可能な理論的基盤を提供し、今後のこのようなタイル分割における最初到達時間パーコレーションの研究を可能にする。

提案手法

• 細胞サイズの定常性および有限な2次のモーメント条件のみを用いて、ランダムタイル分割における無限クラスタの一意性を示すために、バーディン＝キーンの議論を適応する。
• 混合性条件に基づくフレームワークを導入し、i.i.d. や空間移動不変モデルの結果を一般化して、非自明な相転移を保証する。
• 極端に小さいまたは大きい細胞の頻度を追跡する補助確率場を用いた第二のフレームワークを提案し、適切な尾部挙動のもとで非自明性を保証する。
• これらのフレームワークを用いて、行列式的・コックス・ポアソンクラスタ過程によって生成されるボロノイタイル分割における非自明な相転移を証明する。
• 元の点過程の空隙確率の境界を用いて、細胞サイズフレームワークの条件(T2)を検証し、特にν-弱く部分ポアソン過程において有効であることを示す。
• 大または小さな近傍を持つ細胞の数に関するボレル＝カンテリ型推定を用いて、レアな構成の確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムタイル分割に対して、ボーリング・フェースパーコレーションにおける無限クラスタの一意性が成立する一般的条件は何か？
• RQ2 ポアソン駆動モデルを超える広範なランダムタイル分割クラスにおいて、相転移の非自明性（すなわち0 < p_c < 1）を保証できるか？
• RQ3 行列式的またはギブス型点過程によって誘導されるボロノイタイル分割は、ボーリング・パーコレーションにおいて非自明な相転移を示すか？
• RQ4 バーディン＝キーンの議論を、ランダムタイル分割から生じる非推移的でランダムなグラフ構造にどのように適応できるか？
• RQ5 生成点過程にどのような条件を課すと、誘導されるタイル分割が提案されたフレームワークにおける非自明な相転移の基準を満たすようになるか？

主な発見

• 定常性および細胞サイズの有限2次のモーメント条件のもとで、ランダムタイル分割におけるボーリング・パーコレーションの無限クラスタは一意であり、これはバーディン＝キーンの結果を非格子設定に一般化した。
• 平面の場合には、一意性結果とジャンプの議論を組み合わせることで、臨界確率がp_c ≥ 1/2を満たすことが示された。
• タイル分割における混合性条件が非自明な相転移を示唆するが、反例により一般には混合性だけでは不十分であることが示された。
• 極端な細胞サイズの頻度を追跡する補助確率場に基づくフレームワークは、元の点過程の空隙確率が十分に小さい場合に非自明な相転移を保証する。
• ν-弱く部分ポアソン点過程（行列式過程を含む）によって生成されるボロノイタイル分割は、細胞サイズフレームワーク条件(T2)を満たし、非自明な相転移を保証する。
• ポアソンクラスタ過程およびコックス過程も、必要な空隙確率の境界を満たしており、非自明な相転移フレームワークと整合することが確認された。