[論文レビュー] Bernstein approximation of optimal control problems

Venanzio Cichella, Isaac Kaminer+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非線形 optimal control問題に混合状態および制御制約を含む場合に、ベルンシュタイン多項式近似を用いた直接的最適制御法を提案する。この手法により、連続時間の最適制御問題を非線形計画問題（NLP）に変換し、NLPの解が真の最適制御解に収束することを確立するとともに、コスタートマッピング定理を導出し、随伴変数の正確な数値計算を、随伴方程式の積分を必要とせずに可能にする。

ABSTRACT

Bernstein polynomial approximation to a continuous function has a slower rate of convergence as compared to other approximation methods. "The fact seems to have precluded any numerical application of Bernstein polynomials from having been made. Perhaps they will find application when the properties of the approximant in the large are of more importance than the closeness of the approximation." -- has remarked P.J. Davis in his 1963 book Interpolation and Approximation. This paper presents a direct approximation method for nonlinear optimal control problems with mixed input and state constraints based on Bernstein polynomial approximation. We provide a rigorous analysis showing that the proposed method yields consistent approximations of time continuous optimal control problems. Furthermore, we demonstrate that the proposed method can also be used for costate estimation of the optimal control problems. This latter result leads to the formulation of the Covector Mapping Theorem for Bernstein polynomial approximation. Finally, we explore the numerical and geometric properties of Bernstein polynomials, and illustrate the advantages of the proposed approximation method through several numerical examples.

研究の動機と目的

• 混合状態および制御制約を有する非線形最適制御問題を解くための直接的数値法の開発。
• 特に離散化ノード間での制約違反および非滑らか問題におけるギブス現象を生じる汎用スクリプト法の限界を克服すること。
• 一様収束性および良好な幾何的性質を有する理論的に整合性のある近似フレームワークの提供。
• ベルンシュタイン近似に特化した新規のコスタートマッピング定理を用いて、正確なコスタート推定を可能にすること。
• 時間的・空間的制約が厳しい状況や不連続制御を有する問題において、本手法のロバスト性を示すこと。

提案手法

• 状態および制御のパrametrizationにベルンシュタイン多項式基底関数を用いて、連続時間最適制御問題をNLPに変換する。
• ガウス＝ルジャンドル点におけるコロケーションを用いて、NLP定式化における力学的制約および制約を満たす。
• ベルンシュタイン近似の収束性およびその導関数の一様収束性を活用し、解の一貫性を保証する。
• KKT乗数と元の最適制御問題のコスタートを結ぶコスタートマッピング定理を導出する。
• 連続性のモジュラスおよびリプシッツ解析を用いて、NLP定式化における近似誤差を評価する。
• 複数の車両が時間的および空間的分離制約を満たすミッションを想定した数値例により、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン多項式近似は、混合制約を有する非線形最適制御問題に対して一貫的かつ収束性を有する変換を提供できるか？
• RQ2 本手法は、コロケーション点の間でも、時間区間全体にわたり制約を満たすか？
• RQ3 NLPのカールシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数を用いて、元の最適制御問題のコスタートを推定できるか？
• RQ4 本手法は、バン・バン制御などの非滑らか最適制御問題において、汎用スクリプト法と比較してどのように性能を示すか？
• RQ5 ベルンシュタイン近似が最適制御応用において優位である幾何的および数値的性質は何か？

主な発見

• 多項式次数を増加させると、NLPの解は真の最適制御解に一様収束し、誤差境界は $ N^{-1/2} $ 比例となる。
• 本手法は時間区間全体にわたり制約を満たすことを保証し、汎用スクリプト法で一般的に見られるノード間の違反を回避する。
• コスタートマッピング定理は厳密に導出されており、NLPのKKT乗数から正確なコスタート推定が可能である。
• ベルンシュタイン近似はギブス現象を回避し、状態または制御軌道における不連続性付近でも精度を維持する。
• 数値結果から、時間的および空間的分離制約を満たす複数車両ミッションの軌道生成に成功した。
• 本手法はバン・バン制御問題においても優れた性能を示し、汎用スクリプト法が示す振動および精度低下を回避する。