[論文レビュー] Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of nilpotent groups over $\Z_p$ for representations with p-small weights

Patrick Polo, Jacques Tilouine|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、最高重量 $\lambda$ が $p$-小である、すなわち $\lambda \in X^+ \cap \overline{C}_p$ のとき、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上のWeyl加群に対して弱い一般化された Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 分解を確立する。また、$U_P^-$ の単位的部分群のコホモロジーが $L$ のレヴィ部分群に対するWeyl加群の直和に同型なフィルトレーションを持つことを証明し、Kostantの定理を整数的 $p$-進設定に拡張する。

ABSTRACT

We show that for $p$small highest weight $λ$, 1) there is a $\Z_p$-integral version of the Bernstein-Gelfand-Gelfand complex, still a direct summand subcomplex of the standard complex for $V(λ)$ 2) Similarly, a $\Z_p$-integral (as well as a mod. p) version of Kostant formula holds true. This paper is a companion paper to the one by Mokrane-Tilouine (AG, subm. 12/12/00), where these results are requested.

研究の動機と目的

• 元々 $\mathbb{Q}$ 上で得られたWeyl加群およびコホモロジーに関する古典的結果を、整数的 $p$-進設定 $\mathbb{Z}_{(p)}$ に拡張すること。
• 最高重量 $\lambda$ が $p$-小であるとき、$V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ に対して弱い一般化された BGG 分解を確立すること。
• 整数環 $\mathbb{Z}$ 上の冪零群 $U_P^-(\mathbb{Z})$ のホモロジーが、$L$-Weyl加群の直和に同型なフィルトレーションを持つことの証明。
• $\mathfrak{u}_P^-$ がアーベルであるという仮定の下で、分布代数への BGG複体の拡張。
• $p$-小の重みに対して、$V_\mathbb{Q}(\lambda)$ の最小、最大、ヤング格子実現が $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上で同型となることの証明。

提案手法

• $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上で弱い BGG 分解を構成し、関連する層の生成部品として一般化されたヴェルマ加群 $M_{\mathfrak{p}}^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w(\lambda + \rho) - \rho)$ を用いる。
• $\Gamma = U_P^-(\mathbb{Z})$ という冪零群のホモロジーと、その関連する可換なリー環 $\mathrm{gr}_{\mathrm{isol}}\Gamma \cong \mathfrak{u}_P^-$ のホモロジーとの関係を示すスペクトル系列を適用し、Hartleyの定理（冪零群に関する）を用いる。
• Pickelの結果 $H_*(\mathfrak{u}_P^-, V_{\mathbb{Q}}(\lambda)) \cong H_*(\Gamma, V_{\mathbb{Q}}(\lambda))$ を用いて、整数コホモロジーへの結果の拡張を行う。
• 冪零フィルトレーションを持つ加群を係数とするホモロジー的スペクトル系列を構築し、Cenkl と Porter のコホモロジー的スペクトル系列を代数的に一般化する。
• $\mathrm{Dist}(G)$ と $\mathrm{Dist}(P)$ の BGG型複体を構成し、複体の構造として $\Lambda^\bullet(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}) \otimes V_{\mathbb{Z}}(\lambda)$ を用いる。
• ヤング対称化作用素を $\mathbf{V}^{<n>} \subset \mathbf{V}^{\otimes n}$ に作用させ、適切な $\mathbb{Z}$-格子 $V(\lambda)_{\text{Young}}$ を構成し、$V(\lambda)_{\min}$ および $V(\lambda)_{\max}$ と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kostantのリー代数コホモロジーに関する定理は、$p$-小の重みに対して整数的 $p$-進設定 $\mathbb{Z}_{(p)}$ に拡張可能か？
• RQ2 $V_{\mathbb{Q}}(\lambda)$ の BGG 分解は、$\lambda$ が $p$-小であるとき、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上の弱い分解に持ち上げ可能か？
• RQ3 $U_P^-(\mathbb{Z})$ のホモロジーが $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ に係数を持つとき、$L$-Weyl加群の直和に同型なフィルトレーションを持つか？
• RQ4 $\mathfrak{u}_P^-$ がアーベルであるとき、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上の分布代数に対する BGG複体が、どのような条件下で分解をもたらすか？
• RQ5 $p$-小の $\lambda$ に対して、$V_\mathbb{Q}(\lambda)$ の最小、最大、ヤング格子実現は $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上で同型となるか？

主な発見

• $V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)$ は、関連する層の生成部品として $\bigoplus_{w \in W^L(i)} M_{\mathfrak{p}}^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w(\lambda + \rho) - \rho)$ を持つ弱い一般化された BGG 分解を備え、これが定理 A の証明となる。
• $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上で Kostant の定理が成り立つ：$H_i(\mathfrak{u}_P^-, V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda)) \cong \bigoplus_{w \in W^L(i)} V_{\mathbb{Z}_{(p)}}^L(w(\lambda + \rho) - \rho)$、これは定理 B として述べられている。
• $H_n(U_P^-(\mathbb{Z}), V_{\mathbb{Z}_{(p)}}(\lambda))$ は、関連する層として $\bigoplus_{w \in W^L(n)} V_{\mathbb{Z}_{(p)}}^L(w(\lambda + \rho) - \rho)$ を持つフィルトレーションを持つ。これは定理 C の証明である。
• $\mathfrak{u}_P^-$ がアーベルであるとき、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上の BGG複体 $\mathcal{S}_\bullet(G,P,\lambda)$ は $\mathcal{S}_w^{\mathbb{Z}_{(p)}}(G,P,\lambda)_{\overline{\chi}_{\lambda,p}} \cong \mathcal{M}_P^{\mathbb{Z}_{(p)}}(w \cdot \lambda)$ を満たす。これは定理 D として述べられている。
• $p$-小の $\lambda$ に対して、最小、最大、ヤング $\mathbb{Z}$-格子は、$\mathbb{Z}_{(p)}$ への基底拡張により同型となる。すなわち、$V(\lambda)_{\min} \otimes \mathbb{Z}_{(p)} \cong V(\lambda)_{\text{Young}} \otimes \mathbb{Z}_{(p)} \cong V(\lambda)_{\max} \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ である。
• $\Gamma = U_P^-(\mathbb{Z})$ かつ $\lambda$ が $p$-小であるとき、$H_*(\Gamma, M)$ と $H_*(\mathrm{gr}_{\mathrm{isol}}\Gamma, \mathrm{gr} M)$ の間のスペクトル系列は、$\mathbb{Z}_{(p)}$ 上で Kostant の定理が成り立つため、$E_1$ で退化する。