[論文レビュー] Bertini theorems for hypersurface sections containing a subscheme over finite fields

Franziska Wutz|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、与えられた閉部分スキームを含む滑らかで超曲面的切断に関する有限体におけるベルティーニの定理の類似を確立し、次元条件のもとでそのような超曲面が正の密度をもつことを証明する。Poonenの研究を、有限部分スキームにおける局所的条件を組み込むことで拡張し、埋め込み次元と交差次元が臨界不等式を満たすとき、密度が非ゼロであることを示し、ゼータ関数を用いた明示的な公式を提示する。

ABSTRACT

We show the existence of a hypersurface that contains a given closed subscheme of a projective space over a finite field and intersects a smooth quasi-projective scheme smoothly, under some condition on the dimension. This generalizes a Bertini theorem by Poonen and is the finite field analogue of a Bertini theorem by Altman and Kleiman. Furthermore, we add the possibility of modifying finitely many local conditions of the hypersurface. We show that the condition on the dimension is fulfilled for schemes with simple normal crossings and give an application to embeddings into smooth schemes.

研究の動機と目的

• 有限体上のPoonenのベルティーニ定理を、固定された閉部分スキーム Z を含む滑らかで超曲面的切断の存在に一般化すること。
• 有限部分スキーム Y における超曲面の上に有限個の事前指定された局所的条件を組み込み、幾何的スクリーブ法を拡張すること。
• このような超曲面の集合の正確な密度公式を、交差スキームのゼータ関数を用いて確立すること。
• 交差スキーム V = Z ∩ X が単純な横断的交わりをもつとき、密度公式における次元条件が満たされることを示すこと。
• この結果を、有限体上のスキームを滑らかなスキームに埋め込む応用に用いること。

提案手法

• 論文は、有限体に適応された幾何的閉点スクリーブ法を用い、Poonenの手法を部分スキームと局所的条件を扱えるように修正している。
• 同次多項式が Z に消える空間に対して、次数を大きくする極限における比の極限を用いて、I_d に一様に分布する f を選ぶ。
• 主な構成は、f = f₀ + Σ g_i^p t_i とランダムに表現することで、I_d 上で一様分布を保証する。
• 偏微分の零点の個数に関する帰納法を用い、d → ∞ のとき、高次元の点における特異点が確率 1 - o(1) で消えることを示している。
• 微分幾何学の結果を応用し、余接層の構造と、点 x における埋め込み次元 e(x) = dim_{κ(x)}(Ω¹_X|_𝔽_q(x)) の定義を用いている。
• 最終的な密度公式は、ζ_V(m+1)、ζ_U(m+1)、および e < m のときの ζ_{V_e}(m-e) を組み合わせ、局所的条件 T に対する補正項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上、滑らかな準射影的スキーム X と交わるとき、固定された閉部分スキーム Z を含む滑らかな超曲面的切断が存在する条件は何か？
• RQ2 有限部分スキーム Y における超曲面に事前指定された局所的条件を課しながら、交差の滑らかさを保てるか？
• RQ3 このような超曲面の空間における正確な密度は何か？ そして、明示的に計算できるか？
• RQ4 次元条件 max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m が満たされるのはいつか？ 特に単純な横断的交わりをもつスキームの場合。
• RQ5 この結果を用いて、有限体上のスキームを超曲面的切断により滑らかなスキームに埋め込めるか？

主な発見

• 密度 μ_Z(𝒫) が非ゼロであることは、かつてのみ max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m かつ V_m = ∅ を満たすときであり、ここで V = Z ∩ X であり、V_e は埋め込み次元 e の点の集合である。
• 正確な密度は、μ_Z(𝒫) = (#T / #H⁰(Y, ℐ_Z·𝒪_Y)) × ζ_V(m+1) / (ζ_U(m+1) × ∏_{e=0}^{m−1} ζ_{V_e}(m−e)) で与えられ、上記の次元条件のもとで正である。
• 条件 max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m は、V = Z ∩ X が単純な横断的交わりかつ等次元的であるとき満たされる。
• Y = ∅ かつ T = {0} の特別な場合、この結果はAltmanとKleimanのベルティーニ定理の有限体版に還元され、[Wut14] の定理2.1を回復する。
• 証明により、次数 d → ∞ のとき、(d−c)/(m+1) より大きい次数の点における特異点の確率は 0 に収束し、滑らかさが高確率で保証される。
• 局所的条件 T を Y で満たすために、f|_Y ∈ T を満たす一様なランダムな多項式の構成法により、Y における条件をうまく処理している。