[論文レビュー] Berwald metrics constructed by Chevalley's polynomials

Zoltán Szabó|ArXiv.org|Jan 21, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、Chevalley多項式を用いてBerwald計量の明示的構成を提供し、すべての可逆的・非可逆的Berwald計量を分類し、Cartan対称Finsler多様体を完全に特定する。主な貢献は、Berwald計量が任意の固定された最大の完全測地的平坦（Cartan平坦）上でのMinkowskiノルムによって一意に決定されることを証明することであり、すべてのこのような平坦は等長であることを示している。

ABSTRACT

Berwald metrics are particular Finsler metrics which still have linear Berwald connections. Their complete classification is established in an earlier work, [Sz1], of this author. The main tools in these classification are the Simons-Berger holonomy theorem and the Weyl-group theory. It turnes out that any Berwald metric is a perturbed-Cartesian product of Riemannian, Minkowski, and such non-Riemannian metrics which can be constructed on irreducible symmetric manifolds of $rank > 1$. The existence of these metrics are well established by the above theories. The present paper has several new features. First, the Finsler functions of Berwald manifolds are explicitly described by the Chevalley polynomials. New results are also the complete lists of reversible (d(x,y)=d(y,x)) resp. irreversible ($d(x,y) ot =d(y,x)$) Berwald metrics. The Cartan symmetric Finsler manifolds are also completely determined. The paper is concluded by proving that a Berwald metric is uniquely determined by the Minkowski metric induced on an arbitrarily fixed maximal totalgeodesic flat submanifold (Cartan flat). Moreover, any two Cartan flats are isometric.

研究の動機と目的

• Berwald計量のFinsler関数をChevalley多項式を用いて明示的に記述すること。
• 可逆的および非可逆的Berwald計量の完全分類を達成すること。
• Cartan対称Finsler多様体の構造を完全に特定すること。
• Berwald計量が単一のCartan平坦上での制限によって一意に決定されることを確立すること。
• Berwald多様体内の任意の2つのCartan平坦が等長であることを証明すること。

提案手法

• Berwald多様体の接空間上でのFinsler関数を、Chevalley多項式を用いて明示的に構成する。
• Simons-Bergerホロノミー定理を適用して、非リーマン的Berwald拡張を許容するリーマン接続を同定する。
• Cartan部分代数上でのWeyl群不変性を用いて、ホロノミー不変Finslerノルムを特徴付ける。
• de Rham分解を用いて、非可約から可約対称空間への結果の拡張を行う。
• Cartan部分代数から全接空間へのWeyl不変ノルムの平行拡張としてBerwald計量を構成する。
• Cartan平坦の等長性とそれら上のMinkowski構造を用いて、Berwald計量の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler関数のBerwald計量を、Chevalley多項式を用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ2 可逆的および非可逆的Berwald計量の完全なリストは何か？
• RQ3 どのCartan対称Finsler多様体が存在するのか、そしてそれらはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 Berwald計量は、1つのCartan平坦上でのMinkowskiノルムによって、どの程度まで一意に決定されるか？
• RQ5 Berwald多様体内のすべてのCartan平坦が等長であるか、そしてこれはグローバルな計量の一意性とどのように関係するか？

主な発見

• Berwald計量は、すべての可約でない対称空間（ランク > 1）上でのリーマン的、Minkowski的、非リーマン的計量の摂動付きデカルト積として完全に分類される。
• すべてのBerwald計量のFinsler関数が、Cartan部分代数上でのChevalley多項式を用いて明示的に構成される。
• 可逆的および非可逆的Berwald計量が完全にリストアップされ、後者はde Rham分解における非対称な非可約因子に起因する。
• Cartan対称Finsler多様体は、それらのCartan部分代数上でのMinkowskiノルムのWeyl群不変性によって完全に特定される。
• Berwald計量は、任意の固定された最大の完全測地的平坦（Cartan平坦）上での誘導されるMinkowski計量によって一意に決定される。
• Berwald多様体内の任意の2つのCartan平坦は局所的に等長であり、計量構造のグローバル一意性が裏付けられる。