[論文レビュー] Besicovitch Covering Property on graded groups and applications to measure differentiation

Enrico Le Donne, Séverine Rigot|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、有界性の性質（BCP）を満たす同次距離を備えた階数付き群の完全な特徴付けを確立する：このような距離が存在するのは、群がステップ 1 または 2 である場合に限る。主な結果は、層状の群が BCP を満たす同次距離をもつ（したがって、局所有限ボレル測度の微分可能性が保証される）ための必要十分条件が、ステップ 1 または 2 であることである。証明は、リー代数の階数付き構造における異なる層の可換性を分析し、高ステップ群における非リーマン的距離が BCP を満たさないことを示すために、ブロー・アップ技術を用いる。

ABSTRACT

We give a complete answer to which homogeneous groups admit homogeneous distances for which the Besicovitch Covering Property (BCP) holds. In particular, we prove that a stratified group admits homogeneous distances for which BCP holds if and only if the group has step 1 or 2. These results are obtained as consequences of a more general study of homogeneous quasi-distances on graded groups. Namely, we prove that a positively graded group admits continuous homogeneous quasi-distances satisfying BCP if and only if any two different layers of the associated positive grading of its Lie algebra commute. The validity of BCP has several consequences. Its connections with the theory of differentiation of measures is one of the main motivations of the present paper. As a consequence of our results, we get for instance that a stratified group can be equipped with some homogeneous distance so that the differentiation theorem holds for each locally finite Borel measure if and only if the group has step 1 or 2. The techniques developed in this paper allow also us to prove that sub-Riemannian distances on stratified groups of step 2 or higher never satisfy BCP. Using blow-up techniques this is shown to imply that on a sub-Riemannian manifold the differentiation theorem does not hold for some locally finite Borel measure.

研究の動機と目的

• 階数付き群が連続な同次準距離を備え、Besicovitch 覆い性質（BCP）を満たすための条件を特定すること。
• 層状群における BCP と測度の微分可能性との関係を明確にすること。
• ステップ ≥3 の層状群における非リーマン的距離が、BCP を満たさないことを確立すること。
• BCP が有限の位相次元を意味するか、非ダブルイング空間上に BCP を満たす双リプシッツ同値距離が存在するかを調査すること。

提案手法

• 階数付きリー代数とその関連するリー群の構造を分析し、階数付き構造における異なる層の可換性に焦点を当てる。
• 拡大変換に関して 1-斉次かつ左不変な同次準距離を定義し、その性質を研究する。
• Carnot 群のステップ ≥2 における非リーマン的距離の局所幾何をブロー・アップ技術を用いて分析する。
• アッサウドの埋め込み定理を用いて、任意のダブルイング距離空間が BCP を満たす双リプシッツ同値準距離をもつことを示す。
• BCP と局所有限ボレル測度の微分定理の存在との同値性を活用する。
• 階数付き群のリー代数の異なる二つの層が可換でない場合、いかなる同次準距離も BCP を満たさないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの階数付き群に対して、Besicovitch 覆い性質（BCP）を満たす同次準距離が存在するか？
• RQ2 層状群のステップと、その同次距離における BCP の有効性との関係は何か？
• RQ3 層状群がステップ 1 または 2 である場合に限り、局所有限ボレル測度の微分定理が同次距離によって保証されるか？
• RQ4 ステップ ≥3 のCarnot群における非リーマン的距離はBCPを満たすか？その測度の微分可能性への影響は何か？
• RQ5 BCP を満たす双リプシッツ同値距離の存在に、距離空間の有限位相次元が必要または十分か？

主な発見

• 正の階数付き群が連続な同次準距離を備え、BCP を満たすための必要十分条件は、そのリー代数の任意の異なる二つの層が可換であることである。
• 層状群が BCP を満たす同次距離を備えるための必要十分条件は、そのステップが 1 または 2 であることである。
• 高ステップ群における非リーマン的距離は、ブロー・アップ技術を用いて、ステップ ≥3 の層状群では常に BCP を満たさないことが示された。
• 非リーマン多様体上では、BCP の欠如により、ある局所有限ボレル測度の微分定理が成立しない。
• 任意のダブルイング距離空間には、BCP を満たす双リプシッツ同値準距離が存在することが保証されるが、群の層間に非可換性がある場合には、その距離が同次的であるとは限らない。
• BCP を満たす距離空間の位相次元は有限であるが、BCP を満たす双リプシッツ同値距離をもたない有限次元空間が存在する。