[論文レビュー] Besov class via heat semigroup on Dirichlet spaces I: Sobolev type inequalities

Patricia Alonso Ruiz, Fabrice Baudoin+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿は一般のディリクレ空間におけるヒート半群に基づくベソフ空間枠組みを導入し、勾配構造を要件としない $L^p$-ソボレフおよび等周不等式を確立する。ヒートカーネルの評価と新規のセミノルム $\|f\|_{p,\alpha}$ を用いて、ヴァロポウロスの $L^2$ ソボレフ不等式をすべての $p \geq 1$ に一般化する。弱いソボレフ不等式を組み合わせた新たな補間および正則化の議論により、弱いものから強いソボレフ不等式を導出し、$p=1$ の場合に明示的な等周型推論を得る。主な貢献は、滑らでない、フラクタル的で、抽象的な距離測度空間におけるソボレフおよび等周理論の統一的で半群に基づくアプローチである。

ABSTRACT

We introduce heat semigroup-based Besov classes in the general framework of Dirichlet spaces. General properties of those classes are studied and quantitative regularization estimates for the heat semigroup in this scale of spaces are obtained. As a highlight of the paper, we obtain a far reaching $L^p$-analogue, $p \ge 1$, of the Sobolev inequality that was proved for $p=2$ by N. Varopoulos under the assumption of ultracontractivity for the heat semigroup. The case $p=1$ is of special interest since it yields isoperimetric type inequalities.

研究の動機と目的

• ヒート半群を用いたディリクレ空間におけるベソフ型空間の一般枠組みを構築し、勾配や微分構造に依存しないようにすること。
• ヒートカーネルの評価と新しいセミノルム条件のもとで、ヴァロポウロスの $L^2$ ソボレフ不等式をすべての $p \geq 1$ に拡張すること。
• 新たな補間および正則化の議論により、弱いものから強い $L^q$ ソボレフ不等式を導出すること。
• セミノルム $\|f\|_{1,\alpha}$ を用いて $p=1$ の場合の等周型不等式を導出し、チーヘルおよびガウス型等周理論と結びつけること。
• 新しいベソフセミノルムとスペクトル理論、曲率条件、および一般のディリクレ空間における対数ソボレフ不等式との関係を明らかにすること。

提案手法

• ヒートカーネル $p_t(x,y)$ を用いて、Besov セミノルム $\|f\|_{p,\alpha} = \sup_{t>0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$ を定義する。
• ヒートカーネルの評価 $p_t(x,y) \leq C t^{-\beta}$ のもとで、弱いソボレフ不等式 $\sup_{s \geq 0} s \, \mu(\{|f| \geq s\})^{1/q} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$ が $q = \frac{p\beta}{\beta - p\alpha}$ を満たすように成り立つことを証明する。
• 弱い不等式と条件 $\|f\|_{p,\alpha} \leq C \liminf_{t \to 0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$ を組み合わせることで、強いソボレフ不等式 $\|f\|_{L^q(X)} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$ を確立する。
• スペクトル理論とスペクトルギャップ $\lambda_1$ を用いて、チーヘル型定数 $h_\alpha$ に対する下界 $h_\alpha \geq \sup_{t>0} \frac{1 - e^{-\lambda_1 t}}{t^\alpha}$ を導出する。
• レドウの手法を適用し、$p=1$ の場合にセミノルム $\|\mathbf{1}_A\|_{1,\alpha}$ がミンコフスキー外部境界測度を制御することを示し、等周型不等式を得る。
• 対数ソボレフ不等式と関連づけて、$L^1$-ベソフセミノルムと対数ソボレフおよびガウス型等周不等式を結びつけ、$\rho_0 \leq C_l k^2$ を証明する。ここで $k$ はガウス型等周定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァロポウロスの $L^2$ ソボレフ不等式は、勾配構造を仮定しない一般のディリクレ空間において、すべての $p \geq 1$ に拡張可能か？
• RQ2 ヒート半群に基づくセミノルム $\|f\|_{p,\alpha}$ は、滑らでない空間におけるソボレフ型正則性を特徴づける役割を果たすか？
• RQ3 新しいベソフ空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ は、距離測度空間における古典的ソボレフ、BV、および等周理論とどのように関係するか？
• RQ4 $p=1$ の不等式は明示的な等周型推論をもたらすか？また、チーヘル定数とはどのように関係するか？
• RQ5 $L^1$-ベソフセミノルムと対数ソボレフまたはガウス型等周定数の関係は、$\mu(X)=1$ を満たす確率空間においてどのように特定されるか？

主な発見

• 本稿は、ヒートカーネルの評価と最小限の正則性条件のもとで、$p \geq 1$、$0 < \alpha < \beta$、$p < \frac{\beta}{\alpha}$ に対して強い $L^q$ ソボレフ不等式 $\|f\|_{L^q(X)} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$ を証明する。ここで $q = \frac{p\beta}{\beta - p\alpha}$ である。
• $p=1$ の場合、セミノルム $\|f\|_{1,\alpha}$ を用いて、レドウの手法により明示的な定数を伴う等周型不等式が得られ、ミンコフスキー外部境界測度と結びつく。
• チーヘル型定数 $h_\alpha$ は $h_\alpha \geq \sup_{t>0} \frac{1 - e^{-\lambda_1 t}}{t^\alpha}$ を満たす。ここで $\lambda_1$ はスペクトルギャップであり、スペクトルによる下界を与える。
• $L^1$-ベソフセミノルム $\|\mathbf{1}_A\|_{1,\alpha}$ は等周プロファイルを制御し、対数ソボレフ不等式のもとで $\rho_0 \leq C_l k^2$ が成り立つ。ここで $k$ はガウス型等周定数である。
• セミノルム $\|f\|_{2,1/2}$ はディリクレエネルギー $\mathcal{E}(f,f)$ と同値であり、ヴァロポウロスの $L^2$ 結果が特殊な場合として回復される。
• すべての $p \geq 1$、$\alpha = \frac{1}{2}$ に対して、ユークリッド空間における標準的ディリクレ形式のもとで、条件 $\|f\|_{p,\alpha} \leq C \liminf_{t \to 0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$ は常に満たされる。