[論文レビュー] Bessel functions and local converse conjecture of Jacquet

Jingsong Chai|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$p$-進体上の$GL_n(F)$に対して、Jacquetの局所的逆問題予想を、すべての$1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$および$GL_r(F)$の一般型$ $に対して、局所的$\gamma$因子$ (s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$の等式が成り立つならば$ o \pi_1 \cong \pi_2$が成り立つことを示すことによって証明する。証明は、Whittakerモデルにおけるベッセル関数とハウベクトルを用い、等しい$\gamma$因子が等しいベッセル関数を導くことを示し、弱いカーネル公式によりその関数が表現を一意に決定することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we prove the local converse conjecture of Jacquet over p-adic fields for GL(n) using Bessel functions.

研究の動機と目的

• $p$-進体上の$GL_n(F)$に対して、Jacquetの局所的逆問題予想を証明すること。
• $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ および $GL_r(F)$ のすべての一般型$ $に対して、局所的$\gamma$因子$ (s, \pi \times \rho, \psi)$の等しさが、一般型表現$ _1$と$ _2$の同型$ _1 \cong \r_2$を示すこと。
• 弱いカーネル公式を用いて、ベッセル関数が表現を同型を除いて一意に決定することを示すこと。
• 等しい$\gamma$因子が、Whittakerモデルにおける正規化されたハウベクトルの等しさを導き、それがベッセル関数の等しさに繋がることを示すこと。

提案手法

• 弱いカーネル公式を用いて、ベッセル関数$j_\pi$が$\pi$を同型を除いて決定することを示す。
• 問題を、対角行列$a$および最長のワイル元$\omega_n$に対して、正規化されたハウベクトル$W^1_{v_m}(a\omega_n) = W^2_{v_m}(a\omega_n)$の等しさの証明に還元する。
• $GL_{2r+1}(F) \times GL_r(F)$上でのランキン＝セルバーグ積分を構成し、$\gamma$因子とホイットラー関数を関連付ける。
• シャヒディの公式$C(s, \tau_i \otimes \sigma)$を用いて、$\gamma$因子の等しさのもとで$C(s, \tau_1 \otimes \sigma) = C(s, \tau_2 \otimes \sigma)$を示す。
• $\gamma$因子の乗法性および$(2r+1,2r)$-局所的逆問題定理を用いて、$\tau_1 \cong \tau_2$を導く。
• ベルンシュタイン＝ゼレヴィンスキー分類を適用し、$\tau_1 \cong \tau_2$から$\pi_1 \cong \pi_2$を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$および$GL_r(F)$の一般型$ $に対して、局所的$\gamma$因子$ (s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$が成り立つならば、$GL_n(F)$の一般型$ _1, \pi_2$に対して$ _1 \cong \pi_2$が成り立つか？
• RQ2 等しい$\gamma$因子があるとき、ベッセル関数を用いて表現の同型を確立できるか？
• RQ3 正規化されたハウベクトルは、Whittakerモデルにおいて表現の構造をどの程度反映しているか？
• RQ4 ランキン＝セルバーグ積分とシャヒディの公式を用いて、$\gamma$因子と局所係数、ホイットラー関数をどのように関連付けることができるか？
• RQ5 超臨界的の場合に、弱いカーネル公式はベッセル関数から表現を復元するのに十分か？

主な発見

• $p$-進体上の$GL_n(F)$に対して、ベッセル関数とハウベクトルを用いて、ジャケットの局所的逆問題予想が証明された。
• $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ に対して、局所的$\gamma$因子$ (s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$が成り立つならば、可約ユニタリ超臨界的表現に対して$ _1 \cong \pi_2$が成り立つ。
• 仮定のもとで、すべての対角行列$a$に対して、正規化されたハウベクトル$W^1_{v_m}(a\omega_n)$と$W^2_{v_m}(a\omega_n)$は等しい。
• 弱いカーネル公式を用いて、ベッセル関数$j_\pi$は$\pi$を同型を除いて一意に決定する。
• 仮定のもとで、局所係数$C(s, \tau_i \otimes \sigma)$は$i=1,2$に対して等しくなり、$\tau_1$と$\tau_2$の同型が導かれる。
• ベルンシュタイン＝ゼレヴィンスキー分類により、$\tau_1 \cong \tau_2$から$\pi_1 \cong \pi_2$が導かれ、証明が完了する。