[論文レビュー] Best Approximation Optimal Control for Infeasible Double Integrator and Douglas--Rachford Algorithm

Regina S. Burachik, Bethany I. Caldwell+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Numerical methods for differential equations被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、実現不可能な二重積分子問題に対する最良近似制御を分析し、最大でも1回の切替を伴うバン-バン解を解析的に導出し、数値ケーススタディとともに緩和されたDouglas–Rachfordアルゴリズムを評価する。

ABSTRACT

We consider the problem of finding (in some sense) the best approximation control for an infeasible double integrator. The control function is constrained by upper and lower bounds that are too tight and thus cause infeasibility. The infeasibility is characterized by a gap function (representing the separation between two constraint sets) whose squared ${\cal L}^2$-norm is to be minimized to find the best approximation control solution. First, we review the existing results for problems involving a general linear control system. Then, for the infeasible double integrator problem, we present an analytical solution for the bang--bang control with at most one switching. The infinite-dimensional optimization problem is reduced to the problem of solving two algebraic equations in two variables, to compute the switching time and gap function. We discuss numerical approaches to solving the system of equations. Finally, we describe the (relaxed) Douglas--Rachford algorithm for the double integrator problem and carry out numerical experiments to illustrate the implementation of the algorithm and test performance.

研究の動機と目的

• 実現不可能な線形ダイナミクスの最良近似制御を動機づけ、二重積分子をケーススタディとして formalize する。
• 制約が厳しすぎて可行な交わりが空である場合の最適制御の構造を特徴づける。
• 切替が最大1回となるバン-バン制御を示し、切替時間とギャップを計算する方法を提供する。
• 制御問題を解くための数値法を探究し、緩和されたDouglas–Rachfordアルゴリズムを含むケーススタディと数値実験を行う。

提案手法

• 一般的な線形ダイナミクスの実現可能性と最良近似フレームワークのギャップ最小化のレビュー。
• 実現不可能な二重積分子では、最良近似制御は1回以下の切替を伴うバン-バンであることを示す。
• 無限次元問題を2変数の代数方程式（切替時間とギャップ）を解くことへ還元する。
• 切替時間が境界で狭まるときの漸近的挙動を導出し、数値実験を伴うDouglas–Rachfordアルゴリズムの変種を分析する。
• ケーススタディを提示し、ニュートン型法による切替時間の計算を離散化アプローチと比較する。

(a) $a=a_{c}=1+\sqrt{2}$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実現不可能な二重積分子制御に対する最良近似解を解析的に特徴づけることができるか。
• RQ2 実現不可能性の下での最適なバン-バン解の最大の切替点数はいくつか。
• RQ3 縮減系の方程式から切替時間とギャップ関数をどのように計算できるか。
• RQ4 緩和されたDouglas–Rachford法は実務的に実現可能な二重積分子問題に対してどのように機能するか。

主な発見

a	c1	c2	ts (Newton)	ts (Table 11)
2	0.971167995377200	-0.680944121562971	0.701159969031407	0.701
1.5	2.172720275813312	-1.506394502798288	0.693321878369456	0.693
1	3.410002343912741	-2.335315565026760	0.684842803464806	0.685
0.5	4.685608293782471	-3.166921471137164	0.675882675754071
0.1	5.734078050140310	-3.833335390181957	0.668518174440991	0.667
0	6	-4	0.666666666666667	0.667

• 実現不可能な二重積分子に対する最良近似制御は最大1回の切替を伴うバン-バンである。
• 切替時間とギャップ関数は2変数の多項式方程式を2つ解くことで得られる。
• 境界が0に近づくときの切替時間の漸近的な結果が提供される。
• ニュートン法が系を高精度で解くことが可能で、DRアルゴリズムの高速評価を実現する。
• 緩和されたDouglas–Rachfordアルゴリズムは実現不可能な問題に対して数値的に記述・検証され、実装と性能が示される。

(b) $a=2$