[論文レビュー] Best approximations, distance formulas and orthogonality in C*-algebras

Priyanka Grover, Sushil Singla|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、C*-代数における最良近似の状態に基づく特徴付けを確立し、$ b_0 \in \mathcal{B} $ が $ a \in \mathcal{A} $ に対する最良近似であるための必要十分条件として、状態 $ \phi \in \mathcal{S}_\mathcal{A} $ が存在し、$ \phi((a - b_0)^* (a - b_0)) = \|a - b_0\|^2 $ かつすべての $ b \in \mathcal{B} $ に対して $ \phi(a^*b) = \phi(b_0^*b) $ が成り立つことであることを示している。この結果は、非可換なC*-代数的設定への古典的距離公式および直交性基準の一般化を実現する。

ABSTRACT

For a unital $C^*$-algebra $\mathcal A$ and a subspace $\mathcal B$ of $\mathcal A$, a characterization for a best approximation to an element of $\mathcal A$ in $\mathcal B$ is obtained. As an application, a formula for the distance of an element of $\mathcal A$ from $\mathcal B$ has been obtained, when a best approximation of that element to $\mathcal B$ exists. Further, a characterization for Birkhoff-James orthogonality of an element of a Hilbert $C^*$-module to a subspace is obtained.

研究の動機と目的

• 可換なC*-代数（例えば $ C(X) $）における距離公式および最良近似の特徴付けを、非可換な単位的C*-代数へ一般化すること。
• 任意のC*-代数の部分空間における最良近似の統一的な状態論的基準を提供し、$ \mathbb{C}1_\mathcal{A} $ や $ C^* $-部分代数に対する既知の結果を拡張すること。
• 状態を用いて、ある要素が部分空間に対してBirkhoff-James直交するための特徴付けを行い、幾何的直交性と関数解析的条件を結びつけること。
• 条件付き期待値と状態を用いて、要素から部分空間への距離の下界を導出し、特にスカラー倍の単位元のような特別な場合に等号が成り立つこと。

提案手法

• C*-代数をヒルベルト空間上の有界作用素のC*-代数へ埋め込むために、GNS構成と循環表現を用いる。
• 各状態 $ \phi \in \mathcal{S}_\mathcal{A} $ に対して、半内積 $ \langle a_1 | a_2 \rangle_\phi = \phi(a_1^* a_2) $ を定義し、$ \mathcal{A} $ を半内積空間に変換する。
• ある $ b_0 $ が $ \mathcal{B} $ 内で $ a $ の最良近似であるための必要十分条件として、$ \|a - b_0\|_\phi = \|a - b_0\| $ かつすべての $ b \in \mathcal{B} $ に対して $ \langle a - b_0 | b \rangle_\phi = 0 $ となるような状態 $ \phi $ が存在すること、すなわち半内積空間における直交性が成り立つことであることを確立する。
• ハーン＝バナッハの定理と条件付き期待値理論を用いて、有限次元近似を完全なC*-代数へ拡張する。
• リースの表現定理と双対性を用いて、このような状態 $ \phi $ の存在が、$ a - b_0 $ のノルム達成集合に台を持つ確率測度の存在と関連することを示す。
• 条件付き期待値 $ E $ を用いて、距離 $ \text{dist}(a, \mathcal{B})^2 $ の下界を $ \sup \{ \phi(E(a^*a) - E(a)^*E(a)) \} $ として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的C*-代数 $ \mathcal{A} $ の部分空間 $ \mathcal{B} $ において、最良近似が存在する条件は何か。また、その特徴付けはどのように行われるか。
• RQ2 測度ではなく状態を用いることで、$ C(X) $ における古典的距離公式を非可換C*-代数へ一般化できるか。
• RQ3 C*-代数における要素が部分空間に対してBirkhoff-James直交するための正確な状態論的条件は何か。
• RQ4 条件付き期待値から導かれる距離の下界が、いつtight（等号が成り立つ）になるか。
• RQ5 距離の下界公式 $ \text{dist}(a, \mathcal{B})^2 \geq \sup \{ \phi(E(a^*a) - E(a)^*E(a)) \} $ において、等号が $ \mathcal{B} = \mathbb{C}1_\mathcal{A} $ の場合を除いても達成可能か。

主な発見

• 要素 $ b_0 \in \mathcal{B} $ が $ a \in \mathcal{A} $ に対する最良近似であるための必要十分条件は、状態 $ \phi \in \mathcal{S}_\mathcal{A} $ が存在し、$ \phi((a - b_0)^* (a - b_0)) = \|a - b_0\|^2 $ かつすべての $ b \in \mathcal{B} $ に対して $ \phi(a^*b) = \phi(b_0^*b) $ が成り立つことである。これは関数解析的基準を提供する。
• 要素 $ a \in \mathcal{A} $ から部分空間 $ \mathcal{B} \subseteq \mathcal{A} $ への距離は、$ \text{dist}(a, \mathcal{B})^2 \geq \sup \{ \phi(E(a^*a) - E(a)^*E(a)) \} $ を満たす。ここで、上界は $ \mathcal{A} $ から $ \mathcal{B} $ へのすべての条件付き期待値 $ E $ に対してとる。
• 等号は $ \mathcal{B} = \mathbb{C}1_\mathcal{A} $ の場合に成り立ち、複素C*-代数における既知の結果を一般化する。
• 要素 $ a \in \mathcal{A} $ が部分空間 $ \mathcal{B} $ に対してBirkhoff-James直交するための必要十分条件は、状態 $ \phi \in \mathcal{S}_\mathcal{A} $ が存在し、$ \phi(a^*a) = \|a\|^2 $ かつすべての $ b \in \mathcal{B} $ に対して $ \phi(a^*b) = 0 $ が成り立つことである。これは以前の結果を拡張する。
• 状態と半内積を用いた特徴付けにより、ピタゴラス的構造が明らかになる：$ \|a - b_0\|_\phi = \|a - b_0\| $ かつすべての $ b \in \mathcal{B} $ に対して $ \theta_\phi^{a-b_0, b} = \pi/2 $ が成り立つ。これは半内積空間における直交性を示している。
• 証明技法は、ハーン＝バナッハの定理を用いて有限次元の条件付き期待値を完全なC*-代数へ拡張することに依拠しており、必要な状態 $ \phi $ の存在を保証する。