[論文レビュー] Best constants and existence of maximizers for weighted Moser-Trudinger inequalities

Mengxia Dong, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非回転対称関数に対し、明示的な最良定数を伴う $ \mathbb{R}^N $ 上の鋭い重み付きモーザー＝トゥリジンガー不等式を確立し、最大値関数の存在を証明する。従来の結果から、回転対称性の仮定を排除し、臨界指数 $ \alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)} $ が最適であることを示し、すべての $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ に対して $ \|\nabla u\|_{L^N} \leq 1 $ を満たす場合に一様に不等式が成り立つことを示している。これらの結果は、微分幾何学および偏微分方程式における以前の不等式を一般化・強化する。

ABSTRACT

In this paper, we will establish the best constants for certain classes of weighted Moser-Trudinger inequalities on the entire Euclidean spaces $\mathbb{R}^N$. We will also prove the existence of maximizers of these sharp weighted inequalities. The class of functions considered here are not necessarily spherically symmetric. Our inequality in Theorem 1.1 improves the earlier one where such type of inequality was only considered for spherically symmetric functions by M. Ishiwata, M. Nakamura, H. Wadade in \cite{INW} (except in the case $s ot=0$). Since $\int_{\mathbb{R}^N}Φ_N(α|u|^{N/(N-1)})\frac{dx}{|x|^t}\le \int_{\mathbb{R}^N}e^{α|u|^{N/(N-1)}}|u|^N\frac{dx}{|x|^t}$, our inequality in Theorem 1.2 is stronger than the inequality in Theorem 1.1. We note that it suffices for us to prove the above inequalities for all functions not necessarily radially symmetric when $s=t$ by the well-known Caffareli-Kokn-Nirenberg inequalities \cite{CKN}.

研究の動機と目的

• 非回転対称関数に対する $ \mathbb{R}^N $ 上の鋭い重み付きモーザー＝トゥリジンガー不等式を確立すること。
• 重み $|x|^{-t}$ を含む不等式における最良定数 $\alpha_{N,t}$ を特定すること。
• 回転対称性を仮定しない鋭い重み付き不等式の最大値関数の存在を証明すること。
• 特に $s \neq 0$ の場合に限られていた従来の結果を、回転対称性を仮定しない形に拡張すること。
• 同次的重みと臨界指数を伴う非有界領域への古典的モーザー＝トゥリジンガー不等式の一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、指数的成長をモデル化するための関数 $\Phi_N(t) = \sum_{j=N-1}^\infty \frac{t^j}{j!}$ を用いたオルリーツ空間枠組みを用いて、鋭い不等式を導出する。
• 濃縮・コンパクト性のアプローチを用い、重み付き汎関数の上界を分析し、弱収束と厳密な凸性の議論により最大値関数の存在を証明する。
• 非回転対称関数の取り扱いにおいて $s = t$ の場合に、カファレリ＝コーン＝ニレングェルの不等式を用いて、重み付き $L^N$ 空間にの埋め込みのコンパクト性を保証する。
• 変分法を用いて、最大値列の弱極限が上界に達することを示す。具体的には、背理法とエネルギー推定により $\|\nabla v\|_{L^N} = 1$ を証明する。
• 重み付き $L^N$ ノルムと指数積分を比較し、勾配ノルムの下界を得ることで、正規化における等号を強制する。
• 上界の $ \alpha \to \alpha_{N,t}^- $ における正確な漸近的推定を含み、$ \alpha \geq \alpha_{N,t} $ の場合に発散する挙動を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が回転対称でないと仮定しない場合、$ \mathbb{R}^N $ 上の重み付きモーザー＝トゥリジンガー不等式の最良定数 $\alpha_{N,t}$ は何か？
• RQ2 回転対称性を仮定しない鋭い重み付きモーザー＝トゥリジンガー不等式に対して、最大値関数の存在を確立できるか？
• RQ3 臨界指数 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ は、$\alpha > \alpha_{N,t}$ の場合に不等式が成り立たないことにどのように関係するか？
• RQ4 不等式における重み $|x|^{-N}$ を $q > N$ の場合の $|x|^{-q}$ に置き換えることはどの程度可能か？
• RQ5 上界 $AT(\alpha, \beta)$ は $ \alpha \to \alpha_{N,t}^- $ のとき、パラメータ $N$、$t$、$\beta$ に依存してどのようになるか、正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• 不等式 $\int_{\mathbb{R}^N} \Phi_N(\alpha |u|^{N/(N-1)}) \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ の最良定数は $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ であり、これは鋭い：$\alpha > \alpha_{N,t}$ の場合、一様な $C$ は存在しない。
• 不等式は、$u$ が回転対称でない場合を含め、すべての $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ に対して $ \|\nabla u\|_{L^N} \leq 1 $ を満たす場合に成り立つ。
• 回転対称性を仮定しない鋭い不等式に対しても、最大値関数の存在が証明され、最大値列の弱極限が $\|\nabla v\|_{L^N} = 1$ を満たすことを示した。
• 同じ条件下で、より強い不等式 $\int_{\mathbb{R}^N} e^{\alpha |u|^{N/(N-1)}} |u|^N \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ が成り立ち、$\Phi_N$ 形式よりも鋭い。
• 定理 C で定義される上界 $AT(\alpha, \beta)$ は、$ \alpha \to \alpha_N^- $ のとき、$\left(1 - (\alpha/\alpha_N)^{N-1}\right)^{-(N-\beta)/N}$ のオーダーで漸近的境界を持つことが示され、$\alpha_N$ の鋭さが確認された。
• 不等式における重み $|x|^{-N}$ を $q > N$ の場合の $|x|^{-q}$ に置き換えることができ、同じ最良定数 $\alpha_{N,t}$ を維持する。これにより、適用範囲が拡張された。