[論文レビュー] Best of Two Local Models: Local Centralized and Local Distributed Algorithms

Guy Even, Moti Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、有界次数のグラフにおける最大独立集合、最大マッチング、および近似最大（重み付き）マッチングのための決定的で状態なしの集中型局所アルゴリズムを提示する。分散局所アルゴリズムと有効なグラフの向き付けを活用することで、poly(log* n)のプローブ複雑性を達成する。主な貢献は、集中型局所計算から分散計算への新しい還元であり、これによりサブロジスティックなプローブ複雑性を持つ改善された決定的アルゴリズムが得られ、最大マッチングのための新しい分散アルゴリズム（O(log* n)ラウンド）が得られる。

ABSTRACT

We consider two models of computation: centralized local algorithms and local distributed algorithms. Algorithms in one model are adapted to the other model to obtain improved algorithms. Distributed vertex coloring is employed to design improved centralized local algorithms for: maximal independent set, maximal matching, and an approximation scheme for maximum (weighted) matching over bounded degree graphs. The improvement is threefold: the algorithms are deterministic, stateless, and the number of probes grows polynomially in $\log^* n$, where $n$ is the number of vertices of the input graph. The recursive centralized local improvement technique by Nguyen and Onak~\cite{onak2008} is employed to obtain an improved distributed approximation scheme for maximum (weighted) matching. The improvement is twofold: we reduce the number of rounds from $O(\log n)$ to $O(\log^*n)$ for a wide range of instances and, our algorithms are deterministic rather than randomized.

研究の動機と目的

• 基本的なグラフ問題のための、サブ線形プローブ複雑性を持つ決定的で状態なしの集中型局所アルゴリズムを設計すること。
• プローブ複雑性を poly(log* n) にまで低減することで、以前の確率的または状態付きのアルゴリズムを改善すること。
• 集中型局所計算と分散局所計算のモデルの間の双方向的ブリッジを確立すること。
• 最大マッチングのための決定的分散アルゴリズムを O(log* n) ラウンドで達成し、以前の O(log n) の境界を改善すること。
• 有効な向き付けに伴う有界な到達可能性が、局所計算の強力なプリミティブであることを示すこと。

提案手法

• NguyenとOnak（2008）のアイデアを模倣した再帰的改善技術を用いて、分散局所アルゴリズムを集中型局所アルゴリズムに適応する。
• 集中型局所アルゴリズムにおけるプローブ複雑性を制御するためのコアサブルーチンとして、有効なグラフの向き付けと有界な到達可能性を用いる。
• 分散アルゴリズムから導かれる局所的頂点彩色技術を用いて、有効で有界な到達可能性を持つ向き付けを構築する。
• 再帰的改善フレームワークを適用して、サブ線形近似アルゴリズムを決定的分散アルゴリズムに変換する。
• 集中型局所アルゴリズムの知見を活用して、分散最大マッチングアルゴリズムのラウンド数を O(log n) から O(log* n) に削減する。
• 任意のアルゴリズムが o(log* n) ラウンドで有効な向き付けを計算する場合、半径が無限大になる必要があることを証明し、境界のタイトさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散局所アルゴリズムを用いて、MIS やマッチングのようなグラフ問題のための、より優れた集中型局所アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 プローブ複雑性が poly(log* n) である決定的で状態なしの集中型局所アルゴリズムを達成することは可能か？
• RQ3 サブ線形近似から得られる再帰的改善技術を、決定的分散アルゴリズムを得るために適応可能か？
• RQ4 有効な向き付けと有界な到達可能性を計算するための分散アルゴリズムに必要な最小ラウンド数はどのくらいか？
• RQ5 log* n を指数部に含めない形で、集中型局所アルゴリズムのプローブ複雑性を有界にできるか？

主な発見

• 本稿は、最大独立集合、最大マッチング、および近似最大（重み付き）マッチングのための、初めての決定的で状態なしの集中型局所アルゴリズムを提示する。プローブ複雑性は poly(log* n) である。
• 提案された集中型局所アルゴリズムのプローブ複雑性は Δ^rad(A) で有界であり、rad(A) はプローブ半径である。解析では log* n を指数部に含めない。
• 最大マッチングのための新しい分散アルゴリズムは、O(Δ^O(1/ε) + (1/ε²)·log* n) ラウンドを達成し、以前の O(log n) の境界を改善する。
• 本稿では、有効な向き付けを半径が Δ の関数にのみ依存する形で計算するには o(log* n) ラウンドでは不十分であり、Θ(log* n) がタイトなラウンド複雑性であることを証明する。
• 集中型局所計算から分散計算への還元により、最大マッチングのための最初の決定的分散アルゴリズムが O(log* n) ラウンドで達成可能になる。
• 有効で有界な到達可能性を持つ向き付けをサブルーチンとして用いることは、以前の方法（たとえばランダム頂点順序付け）よりも、低いプローブ複雑性を達成するのに効果的であることが示された。