[論文レビュー] Bestvina's normal form complex and the homology of Garside groups

Ruth Charney, John Meier+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ガーディス群のための有限 K(π,1) 空間を、ベストヴィナの正規形複体を用いて構成し、単純な因子の有限ラティスから群の (co)ホモロジーを明示的に計算可能にする。主な貢献は、ファンクター的な構成により、ガーディス群が弱い非正曲率条件を満たすことを示したことであり、これは、ガーディス元 Δ が「なめらか」な条件下で、その可解部分群がほぼアーベルであることを示唆する。

ABSTRACT

A Garside group is a group admitting a finite lattice generating set D. Using techniques developed by Bestvina for Artin groups of finite type, we construct K(π,1)s for Garside groups. This construction shows that the (co)homology of any Garside group G is easily computed given the lattice D, and there is a simple sufficient condition that implies G is a duality group. The universal covers of these K(π,1)s enjoy Bestvina's weak non-positive curvature condition. Under a certain tameness condition, this implies that every solvable subgroup of G is virtually abelian.

研究の動機と目的

• ガーディス群が有限 K(π,1) 空間を備えることを確立し、有限型のアーベル群のためのベストヴィナの構成を一般化すること。
• 単純因子の有限生成集合 D を用いた、明示的でラティスに基づくガーディス群の (co)ホモロジー計算法を提供すること。
• ベストヴィナの弱い非正曲率条件を、すべてのガーディス群に拡張し、幾何学的および代数的性質を結びつけること。
• すべての可解部分群がほぼ有限生成アーベル群であることを示す十分条件（Δ のなめらかさ）を特定すること。
• 構成のファンクター性を示し、アーベル群の有限型に限らず、ラティス生成集合を備える任意の群に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• ガーディス元 Δ の単純因子のラティス D の幾何的実現 |D| を構成し、単体的複体を形成する。
• ガーディス群 G を、単純因子が有限ラティス D をなすガーディス元 Δ を持つガーディスモノイド G⁺ の分数群として定義する。
• 左グリーディ正規形（g = μ₁μ₂⋯μₖΔʲ）を用いて、D に関する語長ノルム |g|_D を定義する。
• 変位長 τ(g) = limₙ→∞ |gⁿ|_D / n を定義し、Δ に対するなめらかさ条件のもとで 0 から離れていることを証明する。
• 構成された K(π,1) の被覆空間にベストヴィナの弱い非正曲率条件を適用し、凸性および距離推定を用いる。
• G が複体 X_D に作用することを用いて、特に G_Δ 内で有限または無限順序を持つ元の安定化部分群と軌道を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純因子のラティス D のみを用いて、任意のガーディス群に対して有限 K(π,1) 空間を構成できるか？
• RQ2 正規形複体 |D| が示す幾何学的・位相的性質は、ガーディス群が弱い非正曲率条件を満たすことをどのように示唆するか？
• RQ3 ガーディス元 Δ にどのような条件が課されると、G のすべての可解部分群がほぼアーベル群になるか？
• RQ4 語長 |g|_D と K(π,1) の被覆空間における幾何的距離 d(*, g(*)) の関係は何か？
• RQ5 K(π,1) の構成はファンクター的であるか？ 有限型アーベル群に限らず、ラティス生成集合を備えるすべての群へ拡張可能か？

主な発見

• ガーディス群は、単純因子のラティス D から構成された有限 K(π,1) 空間を備え、これにより定理 3.6 を用いて (co)ホモロジーを直接計算可能である。
• 構成された K(π,1) の被覆空間は、ベストヴィナの弱い非正曲率条件を満たし、非正曲率に類似した振る舞いを示す。
• 部分複体 |D| の連結性を用いて、ガーディス群が双対性群であるための十分条件が与えられ、第 4.2 章および第 4.4 章で示された。
• ガーディス元 Δ がなめらか（すなわち、||Δⁿ|| ≤ cn を満たすある c が存在）ならば、すべての g ∈ G に対して変位長 τ(g) は 0 から離れている。
• Δ に対するなめらかさ条件のもとで、G のすべての可解部分群はほぼ有限生成アーベル群であることが、系 6.13 で確立された。
• τ(g) の下界の証明は、軌道の外接半径が n に対して線形に増加することに依拠しており、g の G_Δ における像が無限順序を持つ場合、有限安定化部分群と矛盾する。