[論文レビュー] Beta-conjugates of real algebraic numbers as Puiseux expansions

Jean-Louis Verger-Gaugry|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、パリ上関数とβの最小多項式の逆数から導かれる曲線の芽のプアヌー展開を用いて、1より大きい実代数的数βのベータ共役を幾何学的枠組みで定式化する。ベータ共役がプアヌー分岐に対応すること、パリ数の動的ゼータ関数ζβ(z)の積表示が得られること、およびパリ多項式の因数分解がこの展開の既約成分と共役類にどのように関係するかを示す。

ABSTRACT

The beta-conjugates of a base of numeration $β> 1$, $β$ being a Parry number, were introduced by Boyd, in the context of the Rényi-Parry dynamics of numeration system and the beta-transformation. These beta-conjugates are canonically associated with $β$. Let $β> 1$ be a real algebraic number. A more general definition of the beta-conjugates of $β$ is introduced in terms of the Parry Upper function $f_β(z)$ of the beta-transformation. We introduce the concept of a germ of curve at $(0,1/β) \in \mathbb{C}^{2}$ associated with $f_β(z)$ and the reciprocal of the minimal polynomial of $β$. This germ is decomposed into irreducible elements according to the theory of Puiseux, gathered into conjugacy classes. The beta-conjugates of $β$, in terms of the Puiseux expansions, are given a new equivalent definition in this new context. If $β$ is a Parry number the (Artin-Mazur) dynamical zeta function $ζ_β(z)$ of the beta-transformation, simply related to $f_β(z)$, is expressed as a product formula, under some assumptions, a sort of analog to the Euler product of the Riemann zeta function, and the factorization of the Parry polynomial of $β$ is deduced from the germ.

研究の動機と目的

• パリ数に限らない、1より大きいすべての実代数的数β > 1 に対して、ベータ共役の定義を一般化すること。
• プアヌー展開を用いた代数曲線の特異点論を応用して、ベータ共役の幾何的起源を確立すること。
• パリ数のアーティン＝マゾール動的ゼータ関数ζβ(z)を、プアヌー共役類ごとの有限積として表現すること。
• パリ多項式の因数分解を、この芽の既約成分への分解および共役類に結びつけること。
• ガロア共役とベータ共役の相互作用が、単位円上の等分布現象および極限力学系においてどのように働くかを調査すること。

提案手法

• βのパリ上関数fβ(z)とβの最小多項式の逆数から、ℂ²における点(0, 1/β)の近傍の曲線の芽Gβを定義する。
• プアヌーの定理を適用して、この芽をモノドロミーによる共役類に分類された既約成分に分解する。
• ベータ共役を、Gβのプアヌー展開のキャンセル点の逆数として特定する。
• fβ(z)をℚ[X][Y]における既約因数に分解する標準的分解を用いて、ζβ(z)の積表示を導出する。
• プアヌー共役類の有理型性と、有限次拡大L/ℚの仮定のもとで、既約因数πj*をプアヌークラスに結びつける。
• ζβ(z)の積表示を、v / (Pβ*(z) ⋅ ∏j ∏yi∈Cj (z - 1/β - yi(Pβ*(z)))) として導出する。ここでv = (1 - z^k)^{-1} であり、kは周期性に応じてmまたはp+1である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1より大きい実代数的数βのベータ共役は、βの動的ゼータ関数に関連する芽のプアヌー展開を用いて幾何学的に定義可能か？
• RQ2 曲線の芽Gβのプアヌー展開の共役類は、βのパリ多項式の因数分解とどのように関係するか？
• RQ3 パリ数の動的ゼータ関数ζβ(z)は、プアヌー展開およびその共役類の観点から、どのように構造づけられるか？
• RQ4 プアヌー級数の係数体Lが、パリ多項式の既約因数πj*がℚ[X][Y]に属することを保証するための条件は何か？
• RQ5 ベータ共役とガロア共役が、代数的数列の極限過程における単位円上の等分布にどのように寄与するか？

主な発見

• 1より大きいβのベータ共役は、(0, 1/β)における曲線の芽Gβのプアヌー展開のキャンセル点の逆数として再定義される。
• パリ数では、動的ゼータ関数ζβ(z)がL-有理共役類ごとの有限積として表現可能であり、極はキャンセル点およびガロア共役の逆数に現れる。
• L-有理共役類の数eは、e = σ < deg β を満たす。ここでσはパリ多項式の既約因数の数である。
• パリ多項式の既約因数πj*は、πj*(X) = ∏_{yi∈Cj} (X - 1/β - yi(Pβ*(X))) と表され、順序を除いて一意である。
• ζβ(z)の積表示における定数項vは、(1 - z^k)^{-1} であり、kは単純パリ数ではm、非単純パリ数ではp+1である。
• fβ(z)の自然境界|z| = 1が、すべてのプアヌー因子に対しても自然境界でない可能性があり、一部の分岐はfβ(z)の解析接続領域を越えて延長可能である。