[論文レビュー] Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings

Charlene Kalle, Wolfgang Steiner|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的なグリーディーな場合を越えて、非グリーディーな変換——特に対称的ベータ変換——を分析することで、ユークリッド空間におけるベータ展開および多重タイリングの理論を拡張する。タイリングが成立するための必要十分条件を確立し、ピサト予想が対称的展開に一般化されないことを示し、特に最小のピサト数およびトリボナッチ数に対してそのことが成り立つ。

ABSTRACT

From the works of Rauzy and Thurston, we know how to construct (multiple) tilings of some Euclidean space using the conjugates of a Pisot unit $\beta$ and the greedy $\beta$-transformation. In this paper, we consider different transformations generating expansions in base $\beta$, including cases where the associated subshift is not sofic. Under certain mild conditions, we show that they give multiple tilings. We also give a necessary and sufficient condition for the tiling property, generalizing the weak finiteness property (W) for greedy $\beta$-expansions. Remarkably, the symmetric $\beta$-transformation does not satisfy this condition when $\beta$ is the smallest Pisot number or the Tribonacci number. This means that the Pisot conjecture on tilings cannot be extended to the symmetric $\beta$-transformation. Closely related to these (multiple) tilings are natural extensions of the transformations, which have many nice properties: they are invariant under the Lebesgue measure; under certain conditions, they provide Markov partitions of the torus; they characterize the numbers with purely periodic expansion, and they allow determining any digit in an expansion without knowing the other digits.

研究の動機と目的

• グリーディー変換を超えて、他の基数$\beta$-展開におけるタイリング性質を一般化すること。
• ピサト予想が非グリーディー変換、特に対称的$\beta$-変換に対しても成り立つかどうかを調査すること。
• ピサト単位$\beta$の共役を用いて、ユークリッド空間における（多重）タイリングを誘導する変換の条件を特徴づけること。
• ノーマル拡張が周期的展開を捉える役割を果たし、全体の知識なしに桁を計算可能にする仕組みを明らかにすること。
• 任意の変換に対して一般化された弱有限性性質（W）を拡張し、タイリング条件を統一的枠組みで提示すること。

提案手法

• ベータ変換に関連する力学系のノーマル拡張の概念を用い、不変測度およびマルコフ分割を研究する。
• ピサト単位$\beta$の理論を応用し、ユークリッド空間における多重タイリングの基盤をなす共役格子を構成する。
• 古典的な（W）性質を拡張し、任意の$\beta$-変換に対してタイリングの必要十分条件となる一般化された弱有限性条件を導入する。
• 対称的$\beta$-変換を主な例として分析し、特定のピサト数に対して一般化されたタイリング条件を満たさないことを示す。
• 記号的力学および部分シフトを用いて、特にシフトがソフィックでない場合の展開性質を研究する。
• ノーマル拡張におけるルベーグ測度に関する不変性を活用し、純粋周期的展開を特徴づけ、桁ごとの計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グリーディーな$\beta$-変換が、ユークリッド空間における多重タイリングを誘導する条件は何か？
• RQ2 弱有限性性質（W）は、グリーディー展開を超えてタイリングの必要十分条件として一般化可能か？
• RQ3 ピサト予想が、特に最小のピサト数およびトリボナッチ数に対して、対称的$\beta$-変換に対しても成り立つか？
• RQ4 ベータ変換のノーマル拡張は、周期的展開の構造および桁計算とどのように関係するか？
• RQ5 非ソフィックな部分シフトは、$\beta$-展開のタイリング行動においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の$\beta$-変換に対して、タイリングの必要十分条件が確立され、弱有限性性質（W）が一般化された。
• $\beta$が最小のピサト数またはトリボナッチ数であるとき、対称的$\beta$-変換は一般化されたタイリング条件を満たさない。
• この失敗は、タイリングに関するピサト予想が対称的$\beta$-変換に一般化できないことを示唆する。
• 適切な条件下で、変換のノーマル拡張はルベーグ測度に関して不変であり、トーラス上にマルコフ分割を支持する。
• ノーマル拡張により、他の桁の知識なしに$\beta$-展開の任意の桁を決定可能である。
• ノーマル拡張は、純粋周期的$\beta$-展開を持つ数を特徴づけ、このような数の力学的特徴づけを提供する。